Uma variável aleatória contínua X tem função de densidade de probabilidade dada por f(x) = kx, se 0 < x < 1, k constante, e f(x) = 0, nos demais casos. A média da variável Y = 3X + 5 é igual a
- A)1.
Errada, porque 1 não corresponde ao valor esperado de Y após aplicar a transformação linear.
- B)2.
Errada, porque 2 é apenas a parte 3E(X) antes de somar o 5 da transformação.
- C)5.
Errada, porque 5 seria o valor de Y se a média de X fosse zero, o que não acontece aqui.
- D)6.
Errada, porque 6 seria um valor intermediário plausível, mas não resulta da conta correta da esperança.
- E)7.
Certa, pois k = 2, E(X) = 2/3 e, logo, E(Y) = 3E(X) + 5 = 7.
Gabarito: E
Quando a questão fala em variável aleatória contínua com densidade, o primeiro passo é sempre descobrir a constante k usando a regra básica: a área total sob a curva deve ser 1. Aqui, isso significa integrar f(x) = kx no intervalo de 0 a 1. Fazendo a conta, temos k/2 = 1, então k = 2. Depois disso, vem a média de X. Em variáveis contínuas, a esperança é calculada por E(X) = integral de x f(x) dx. Como f(x) = 2x, fica E(X) = integral de 2x^2 dx de 0 a 1, o que dá 2/3. Nada de drama: é só aplicar a fórmula com calma. Agora entra a parte mais simpática da probabilidade: a esperança de uma transformação linear. Se Y = aX + b, então E(Y) = aE(X) + b. Isso vale sempre, e é o atalho que a banca adora cobrar. Então E(Y) = 3*(2/3) + 5 = 2 + 5 = 7. Por isso, o gabarito é a letra E. O enunciado parece querer te distrair com a densidade e com o k, mas o caminho é direto: normaliza a densidade, calcula E(X) e aplica a linearidade da esperança.