Os táxis, em uma determinada cidade, são numerados de 1 a n, ou seja, n é quantidade de táxis na cidade. Para estimar n, uma amostra aleatória simples de 10 números de táxis indicou as seguintes numerações: 23, 35, 57, 102, 305, 38, 48, 204, 245, 267. A estimativa de máxima verossimilhança de n é
- A)132.
Errada, porque 132 é menor que vários valores observados na amostra, então não pode ser o total de táxis.
- B)267.
Errada, pois 267 também fica abaixo do maior número observado, e n precisa ser ao menos tão grande quanto o maior táxi visto.
- C)289.
Errada, já que 289 ainda não comporta o valor 305 presente na amostra.
- D)305.
Certa, porque a máxima verossimilhança para n é o maior valor observado na amostra, que é 305.
- E)328.
Errada, pois 328 é maior do que o necessário; o MLE não escolhe um valor qualquer acima do máximo observado.
Gabarito: D
Quando a cidade tem táxis numerados de 1 a n e você observa uma amostra aleatória simples desses números, o modelo clássico é o de uma distribuição discreta uniforme em {1, 2, ..., n}. Nesse caso, a lógica da máxima verossimilhança é bem intuitiva: quanto menor for n, mais difícil fica explicar a presença de um número alto na amostra. Então o valor de n não pode ser menor que o maior número observado. A função de verossimilhança cresce quando n é pelo menos o maior valor da amostra e, entre esses valores possíveis, o estimador de máxima verossimilhança escolhe o menor n que ainda torne a amostra possível. Em outras palavras: o MLE de n, aqui, é o maior número observado na amostra. Na lista dada, o maior valor é 305. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança de n é 305. É aquele tipo de questão em que a estatística pede um pouco de formalismo, mas a resposta aparece na sua cara desde o primeiro olhar: se existe táxi 305, então n não pode ser 304 nem menos. Esse raciocínio é o padrão de problemas de MLE para variáveis discretas uniformes em {1, ..., n}, muito comum em provas de Estatística da FGV.