Planeja-se estimar o parâmetro p de uma distribuição Bernoulli a partir de uma amostra aleatória simples. Como sabemos, p é a proporção de “sucessos” na população. Avalie, então, se as afirmativas a seguir, acerca do estimador ”proporção de sucessos na amostra”, estão corretas. I. É estimador de máxima verossimilhança. II. É estimador não tendencioso. III. É estatística suficiente. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
Errada, porque a proporcao amostral nao e apenas estimador de maxima verossimilhanca; ela tambem e nao tendenciosa e suficiente.
- B)I e II, apenas.
Errada, porque alem de ser MLE e nao tendenciosa, a proporcao amostral tambem e estatistica suficiente para p.
- C)I e III, apenas.
Errada, porque a afirmativa II tambem esta correta: a proporcao amostral tem valor esperado igual a p.
- D)II e III, apenas.
Errada, porque a afirmativa I tambem esta correta: a proporcao amostral e o estimador de maxima verossimilhanca.
- E)I, II e III.
Certa, pois a proporcao de sucessos na amostra satisfaz as tres propriedades: MLE, nao tendenciosidade e suficiencia.
Gabarito: E
Quando voce estima o parametro p de uma Bernoulli, normalmente olha para a proporcao amostral de sucessos, isto e, a media dos valores 0 e 1 da amostra. Em linguagem simples: somou os sucessos, dividiu pelo tamanho da amostra, pronto. Esse estimador aparece o tempo todo porque ele concentra exatamente a informacao que interessa sobre p. A afirmativa I esta correta porque, para uma amostra aleatoria simples de variaveis Bernoulli, a proporcao amostral e o estimador de maxima verossimilhanca de p. A conta da verossimilhanca leva diretamente a p = X̄, ou seja, a proporcao de sucessos observada. A afirmativa II tambem esta correta porque esse estimador e nao tendencioso: o valor esperado da proporcao amostral e p. Em outras palavras, se voce repetisse a amostragem muitas vezes, em media acertaria o parametro, sem puxar para cima ou para baixo. E isso e um classico de prova. A afirmativa III tambem esta correta porque, na familia Bernoulli/binomial, a soma dos sucessos (ou, equivalentemente, a proporcao amostral) e estatistica suficiente para p. Intuitivamente, depois que voce sabe quantos sucessos ocorreram, o resto da amostra nao acrescenta informacao para estimar p. Por isso o gabarito e E: as tres afirmativas estao certas.