Suponha que X1, X2,..., Xn seja uma amostra aleatória de uma distribuição Bernoulli (θ), θ desconhecido. Se usarmos uma distribuição a priori Beta (α = 1, β = 1) para θ, se n = 10 e se as observações são, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, então a distribuição a posteriori de θ dada a amostra observada tem distribuição Beta com parâmetros iguais a
- A)6 e 4.
Errada, porque os parametros nao sao 6 e 4, ja que a posteriori precisa incluir tambem os hiperparametros da priori Beta(1,1).
- B)7 e 5.
Certa, pois a amostra tem 6 sucessos e 4 fracassos, entao Beta(1+6, 1+4) = Beta(7,5).
- C)6 e 10.
Errada, porque o segundo parametro nao e 10; ele deve refletir o numero de fracassos somado ao hiperparametro da priori.
- D)8 e 6.
Errada, porque 8 e 6 nao correspondem a soma correta dos sucessos e fracassos com a priori dada.
- E)9 e 5.
Errada, pois os parametros nao resultam de 9 e 5; a contagem dos dados e a atualizacao bayesiana nao levam a esse par.
Gabarito: B
Quando voce trabalha com uma amostra Bernoulli, cada observacao so pode dar 0 ou 1. Nesse caso, o parametro θ representa a probabilidade de sucesso, e a distribuicao Beta e uma escolha classica para modelar a priori de θ, porque ela “conversa” muito bem com a Bernoulli. Essa dupla e chamada de conjugada: a priori Beta mais dados Bernoulli geram uma posteriori Beta. A regra e simples: se a priori e Beta(α, β), depois de observar s sucessos e f fracassos, a posteriori vira Beta(α + s, β + f). Aqui, α = 1 e β = 1, entao a priori e uniforme em [0,1]. Na amostra 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, ha 6 sucessos (os valores 1) e 4 fracassos (os valores 0). Assim, a posteriori fica Beta(1 + 6, 1 + 4) = Beta(7, 5). Por isso, o gabarito e a letra B. A banca explora justamente essa conta de soma direta: parametro da priori mais numero de acertos e parametro da priori mais numero de erros. Se voce somou 10 no total e se perdeu nos 1 e 0, caiu na pegadinha mais comum.