Em 30 dias, um auditor autua a uma taxa média de 18 empreendimentos em decorrência de recolhimento de tributo a menor. O valor esperado do número de dias em que esse auditor não autua nenhum empreendimento é de
- A)18/30 e1,6
Errada, porque mistura a taxa média diária 18/30 com um expoente positivo, quando em Poisson a probabilidade de zero eventos é e^-λ.
- B)30/18 e0,6
Errada, porque usa a razão invertida 30/18 e ainda coloca o expoente positivo, o que não faz sentido no modelo.
- C)30/18 e1,6
Errada, porque a taxa foi invertida para 30/18, e o expoente correto na Poisson para zero ocorrências seria negativo.
- D)18/30 e-0,6
Errada, porque até traz o expoente negativo, mas usa a taxa média errada 18/30 no lugar de 30/18 ou, melhor ainda, da média diária correta aplicada ao modelo.
- E)30 e-0,6
Certa, porque a taxa diária é 18/30 = 0,6, a probabilidade de zero autuações em um dia é e^-0,6, e o valor esperado em 30 dias é 30 x e^-0,6.
Gabarito: E
Quando a questão fala em “taxa média” de ocorrências ao longo do tempo, o caminho quase sempre é a distribuição de Poisson. Ela é usada para contar quantas vezes um evento acontece em um intervalo fixo, como dias, horas ou metros, quando os fatos ocorrem de forma independente e com média conhecida. Aqui, o auditor autua 18 empreendimentos em 30 dias. Então a taxa diária média é 18/30 = 0,6 autuações por dia. Se queremos saber a chance de um dia terminar com zero autuações, usamos a fórmula da Poisson: P(X=0) = e^-λ, com λ = 0,6. Logo, a probabilidade de zero autuações em um dia é e^-0,6. Mas a pergunta não quer só a probabilidade em um dia. Ela quer o valor esperado do número de dias, em 30 dias, em que não haverá nenhuma autuação. Aí basta multiplicar a probabilidade de zero em um dia pelo total de dias: 30 x e^-0,6. Por isso o gabarito é a alternativa E. Em resumo: taxa média por dia, aplica Poisson, calcula a chance de zero eventos e depois transforma isso em número esperado de dias. É uma conta curta, mas a banca gosta de testar se você percebe que não é “18” nem “30”, e sim a média diária e a exponencialzinha da Poisson.