X e Y são variáveis aleatórias independentes, com médias E[ X ] = 2 e E[ Y ] = 4 e variâncias Var[ X ] = 2 e Var[ Y ] = 5. A variável W = 4Y – 3 X tem média e variância iguais, respectivamente, a
- A)8 e 56.
Errada, porque a media nao e 8 e a variancia nao e 56 quando voce aplica corretamente a linearidade e o quadrado dos coeficientes.
- B)8 e 62.
Errada, porque embora a media possa parecer plausivel em uma conta apressada, a variancia foi calculada de forma incorreta.
- C)8 e 74.
Errada, porque a media pode ate ser obtida por uma substituicao incompleta, mas a variancia nao bate com a regra de independência.
- D)10 e 98.
Certa, pois E[W] = 4·4 - 3·2 = 10 e Var(W) = 4²·5 + (-3)²·2 = 98.
- E)10 e 106.
Errada, porque tanto a media quanto a variancia nao resultam nesses valores ao aplicar as formulas corretas.
Gabarito: D
Quando voce ve uma variavel do tipo W = aY + bX, a ideia central e simples: a media acompanha a linearidade, e a variancia “ganha” o quadrado dos coeficientes. Ou seja, E[aY + bX] = aE[Y] + bE[X]. Aqui, basta substituir: E[W] = 4·E[Y] - 3·E[X] = 4·4 - 3·2 = 16 - 6 = 10. Na variancia, o pulo do gato e que X e Y sao independentes. Isso elimina o termo de covariancia, entao podemos somar as variancias dos pedaços separadamente: Var(aY + bX) = a²Var(Y) + b²Var(X). Nada de misturar sinais no quadrado da variancia, porque o sinal negativo some ao elevar ao quadrado. Aplicando isso: Var(W) = 4²·Var(Y) + (-3)²·Var(X) = 16·5 + 9·2 = 80 + 18 = 98. Portanto, a media e a variancia de W sao 10 e 98. Logo, o gabarito e a alternativa D. Em questoes de estatistica descritiva/probabilidade da FGV, essa combinacao de linearidade da media com independencia na variancia cai bastante e costuma vir com alguma conta para voce nao se perder no detalhe do sinal.