Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 de uma distribuição normal com média µ e variância σ² desconhecidas, apresentou os seguintes dados suficientes: Média amostral = 40,0 Desvio-padrão amostral = 2,5 Um intervalo de 95% de confiança para µ será dado, aproximadamente, por
- A)(39,0; 41,0).
Correta, porque usando t com 24 graus de liberdade e erro-padrão 0,5, o intervalo fica aproximadamente (38,97; 41,03), que arredonda para (39,0; 41,0).
- B)(38,6; 41,4).
Errada, porque a margem de erro fica maior do que 1,0, então esse intervalo está um pouco mais largo do que o correto.
- C)(38,0; 42,0).
Errada, porque esse intervalo é largo demais para os dados fornecidos e sugere uma margem de erro bem maior do que a calculada.
- D)(37,6; 42,4).
Errada, porque a amplitude está exagerada para uma amostra de tamanho 25 com desvio-padrão 2,5.
- E)(37,0; 43,0).
Errada, porque a margem de erro foi superestimada, produzindo um intervalo muito mais amplo do que o compatível com a estatística amostral.
Gabarito: A
Quando a variância populacional é desconhecida e a amostra vem de uma distribuição normal, o intervalo de confiança para a média usa a distribuição t de Student, com n-1 graus de liberdade. Aqui, como n = 25, você trabalha com 24 graus de liberdade. O raciocínio é o mesmo de sempre: média amostral mais ou menos o valor crítico vezes o erro-padrão. O erro-padrão é s/√n = 2,5/√25 = 2,5/5 = 0,5. Para 95% de confiança e 24 g.l., o valor crítico t é aproximadamente 2,06. Então a margem de erro fica perto de 2,06 x 0,5 = 1,03. Assim, o intervalo é 40,0 ± 1,03, isto é, aproximadamente (38,97; 41,03). Arredondando para uma forma simples, você chega em (39,0; 41,0). É exatamente o que a alternativa A traz. A lógica é clássica de prova: se a questão fala em média, desvio-padrão amostral e variância populacional desconhecida, pense em t de Student sem hesitar. Se você tentar usar 1,96 como se fosse z, pode até parecer perto, mas a banca gosta de cobrar esse detalhe.