Uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, de tamanho 3, de uma população com média µ será obtida. Avalie, então, se os seguintes estimadores são não-tendenciosos para µ: I. T1 = X1 + X2 + X3 II. T2 = (X1 + X2 + X3)/3 III. T3 = X1 – X2 + X3 Assinale:
- A)se apenas o estimador T2 é não-tendencioso.
Errada, porque T3 também tem esperança igual a mu, então não é apenas T2.
- B)se apenas os estimadores T1 e T2 são não-tendenciosos.
Errada, porque T1 tem esperança 3mu e, portanto, é tendencioso.
- C)se apenas os estimadores T1 e T3 são não-tendenciosos.
Errada, porque T1 não é não-tendencioso, já que sua esperança é 3mu.
- D)se apenas os estimadores T2 e T3 são não-tendenciosos.
Certa, pois T2 e T3 têm esperança igual a mu, enquanto T1 tem esperança 3mu.
- E)se os estimadores T1, T2 e T3 são não-tendenciosos.
Errada, porque T1 não é não-tendencioso, já que sua esperança não é mu.
Gabarito: D
Em estimadores, a pergunta central é simples: o valor esperado dele bate com o parâmetro que você quer estimar? Se bater, ele é não-tendencioso, ou seja, em média não erra para cima nem para baixo. Aqui, como a amostra é aleatória simples, cada Xi tem esperança igual a mu. Então é só olhar a conta. Em T1 = X1 + X2 + X3, a esperança vira mu + mu + mu = 3mu. Como isso não é igual a mu, T1 é tendencioso. Já em T2 = (X1 + X2 + X3)/3, a esperança fica (3mu)/3 = mu, então ele é não-tendencioso. No caso de T3 = X1 - X2 + X3, a esperança é mu - mu + mu = mu. Aqui o sinal de menos não atrapalha, porque a soma das esperanças continua dando mu. Ou seja, T3 também é não-tendencioso. Por isso, o gabarito é D: apenas T2 e T3 são não-tendenciosos. A ideia-chave para prova é sempre aplicar a linearidade da esperança: E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y).