Considere uma variável aleatória X que corresponde à renda dos indivíduos em um país. Admitindo que X tem uma distribuição de Pareto mediante a função de distribuição F(x) = 1 − (θ/x)α para x ≥ θ > 0 com α > 1, obtém-se que a média desta distribuição é igual a
- A)θ/α - 1
Errada, porque a expressão \u03b8/\u03b1 - 1 não corresponde à média da Pareto e ainda mistura os parâmetros de forma incorreta.
- B)αθ/α - 1
Certa, pois a média da Pareto com F(x) = 1 - (\u03b8/x)^\u03b1, para \u03b1 > 1, é exatamente \u03b1\u03b8/(\u03b1 - 1).
- C)α/θ - 1
Errada, porque \u03b1/\u03b8 - 1 não tem a forma da esperança dessa distribuição e inverte indevidamente escala e forma.
- D)αθ/θ - 1
Errada, pois \u03b1\u03b8/\u03b8 - 1 simplifica para \u03b1 - 1, o que não é a média da Pareto.
- E)α/αθ - 1
Errada, porque \u03b1/(\u03b1\u03b8) - 1 simplifica para 1/\u03b8 - 1, expressão sem relação com a média da distribuição dada.
Gabarito: B
A distribuição de Pareto aparece muito quando o assunto é renda, fortuna e outros fenômenos em que poucos têm muito e muitos têm pouco. A função dada, F(x) = 1 - (\u03b8/x)^\u03b1, define uma Pareto de escala \u03b8 e forma \u03b1, com \u03b1 > 1. Nesse caso, a média existe e é dada por E(X) = \u03b1\u03b8/(\u03b1 - 1).