Considere que a média histórica da quantidade de processos pendentes em determinado setor de um Tribunal de Justiça é de 10 processos por mês. Sabe-se que a variável X, número de processos pendentes por mês no setor, segue uma distribuição normal com média μ e variância 4. Devido a mudanças recentes na estrutura do Tribunal, acredita-se que o número médio de processos pendentes mensalmente no setor possa ter aumentado. Define-se um teste para as hipóteses H0: μ = 10 contra H1: μ = 13. Para uma amostra aleatória de tamanho n = 9 de X, considere o critério que rejeita H0 se a média amostral for maior ou igual a 12. As probabilidades do erro do tipo I e do tipo II para esse critério são dadas, respectivamente, por: (Observação: Φ(z) = P(Z ≤ z), onde Z~Normal (0, 1).)
- A)1 − Φ(3,0) e 1 − Φ(1,5).
Certa, pois o erro tipo I é 1 - Phi(3) e o erro tipo II é 1 - Phi(1,5).
- B)Φ(−3,0) e 1 − Φ(−1,5).
Errada, porque o erro tipo I foi escrito como Phi(-3,0), o que até é equivalente, mas o erro tipo II ficou incorreto ao usar 1 - Phi(-1,5).
- C)1 − Φ(1,0) e Φ(−0,5).
Errada, porque os valores de padronização não batem com a média amostral e o erro tipo II não corresponde ao ponto de corte 12 sob mu = 13.
- D)Φ(−1,5) e 1 − Φ(3,0).
Errada, porque inverte as expressões e não representa corretamente os eventos de rejeição e não rejeição do teste.
- E)1 − Φ(1,5) e Φ(−0,75).
Errada, porque os z-scores usados não correspondem aos parâmetros do problema, especialmente no cálculo do erro tipo II.
Gabarito: A
Aqui a ideia é transformar a regra de decisão em probabilidade na distribuição da média amostral. Como X tem variância 4, o desvio-padrão é 2. Para n = 9, a média amostral tem variância 4/9 e desvio-padrão 2/3. Então, sob cada hipótese, você padroniza a média amostral com Z = (Xbarra - mu)/(2/3). O erro do tipo I é rejeitar H0 quando H0 é verdadeira. Como o teste rejeita H0 se Xbarra >= 12, sob H0: mu = 10 temos P(Xbarra >= 12) = P(Z >= (12 - 10)/(2/3)) = P(Z >= 3) = 1 - Phi(3). O erro do tipo II é não rejeitar H0 quando H1 é verdadeira. Sob H1: mu = 13, a probabilidade é P(Xbarra < 12) = P(Z < (12 - 13)/(2/3)) = P(Z < -1,5) = Phi(-1,5), que também pode ser escrito como 1 - Phi(1,5). Por isso o gabarito é a alternativa A. Em prova, essa conta costuma ser uma armadilha clássica: a banca gosta de testar se você lembra que erro tipo I é sob H0 e erro tipo II é sob H1, além de não esquecer o desvio-padrão da média amostral, que aqui é 2/3, não 2.