Considere X como uma variável aleatória que representa o tempo (em horas) entre o recebimento de denúncias no canal de comunicação de certo Tribunal de Justiça, cuja função densidade de probabilidade é dada por: f(x) = ce −2x , x > 0, onde c é uma constante positiva. Qual é o valor de d, em horas, tal que P(X ≤ d) = 0, 75? (Dados: ln(0,125) = -2,08; ln(0,25) = -1,39; ln(0,75) = -0,29; ln(1) = 0; ln(2) = 0,69.)
- A)0,14.
Errada, pois 0,14 hora é pequeno demais para atingir acumulada de 0,75 nessa distribuição exponencial.
- B)0,35.
Errada, pois 0,35 hora ainda não faz a probabilidade acumulada chegar a 75%.
- C)0,50.
Errada, pois 0,50 hora fica abaixo do valor necessário para que P(X \le d) seja 0,75.
- D)0,69.
Certa, porque a resolução leva a d = 0,695 hora, que arredonda para 0,69.
- E)1,04.
Errada, pois 1,04 hora é maior do que o valor obtido ao resolver a equação da CDF.
Gabarito: D
Aqui a variável X representa o tempo entre chegadas, e a densidade tem a cara clássica da distribuição exponencial: f(x) = c e^{-2x}, com x > 0. O primeiro passo, quase sempre, é achar a constante c usando a área total igual a 1. Fazendo a integral de 0 até infinito, temos c/2 = 1, então c = 2. Com isso, a função distribuição acumulada fica F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-2x}. Agora é só impor o que o enunciado quer: P(X \le d) = 0,75. Logo, 1 - e^{-2d} = 0,75, então e^{-2d} = 0,25. Aplicando logaritmo: -2d = ln(0,25). Como o problema já fornece ln(0,25) = -1,39, vem d = 1,39/2 = 0,695. Arredondando, d \approx 0,69 hora. Por isso a alternativa D está correta. É uma questão típica de distribuição exponencial: achar a constante pela normalização e depois inverter a CDF. Sem mistério, só o famoso "integral primeiro, susto depois".