Considere o caso mais simples de uma variável independente e de uma variável dependente, em que a forma de relação entre ambas é linear: Y = α + βX + ε. Nesse caso, Xé usado para representar a variável independente e Y é usado para representar a variável dependente. Salienta-se que as letras maiúsculas X e Y representam a designação das variáveis aleatórias, já as minúsculas, valores específicos das variáveis aleatórias. Por sua vez, “ε” é um termo de distúrbio ou erro estocástico com média zero. Considerando essas informações e conhecimentos adicionais sobre análise de regressão linear simples, analise as afirmativas a seguir. I. O valor da variável dependente Y é considerado como o de uma variável aleatória, que depende de valores fixos (não aleatórios) da variável independente X. II. Uma relação teórica em linha reta existe entre Y e o valor esperado de X para cada um dos valores possíveis de X. Essa linha de regressão teórica: E (Y ̸X) = α + βX possui uma inclinação α e uma interseção β. Os coeficientes de regressão α e β constituem parâmetros de população, cujos valores são desconhecidos e se deseja estimá-los. III. Associada a cada valor de X, existe uma distribuição de probabilidade p(y ̸x) dos valores possíveis da variável aleatória Y. Quando X for igual a um valor xi, o valor de Y observado será obtido da distribuição de probabilidade p(y ̸xi) e não estará necessariamente na linha de regressão teórica. Quanto às premissas subjacentes ao modelo de regressão linear simples, está correto o que se afirma apenas em
- A)I.
A alternativa sustenta que, no modelo de regressão linear simples, a variável dependente Y é tratada como aleatória e o X é tomado como fixo ou não aleatório no contexto da amostra. Essa é uma premissa clássica do modelo: para cada valor dado de X, observa-se uma resposta Y que varia por causa do termo de erro, com média condicional zero. Portanto, o conteúdo de I está de acordo com a formulação usual da regressão.
- B)II.
Aqui se afirma apenas a proposição II, que tenta descrever a reta de regressão teórica. O problema é que a expressão correta é E(Y|X)=α+βX, com β sendo a inclinação e α o intercepto, e não o contrário; além disso, a relação é entre Y e o valor esperado de Y condicionado a X, não entre Y e o valor esperado de X. Por isso, a ideia central está conceitualmente trocada e a afirmação não se sustenta.
- C)I e III.
A alternativa reúne as afirmativas I e III. A primeira traduz a premissa de que, na regressão linear simples, Y é aleatória e depende de um X tratado como fixo no modelo; a terceira completa essa lógica ao indicar que, para cada valor de X, existe uma distribuição condicional p(y|x), de modo que o Y observado pode se afastar da reta por causa do erro ε. Como ambas correspondem à estrutura do modelo, esta é a combinação correta.
- D)II e III.
Esta opção combina as afirmativas II e III. Embora a III esteja em harmonia com a regressão, pois reconhece a distribuição condicional de Y dado X e a possibilidade de desvios em relação à reta, a II erra ao inverter intercepto e inclinação e ao formular incorretamente a relação teórica. Como a alternativa exige as duas juntas, o erro da II compromete o conjunto.
Gabarito: C
Na regressão linear simples, voce quer descrever como uma variável dependente Y se comporta em função de uma variável explicativa X, assumindo uma relação do tipo Y = α + βX + ε. A ideia central é que X é tratado como dado fixo ou controlado, e Y varia ao redor de uma média condicional. Em outras palavras, para cada valor de X, existe uma distribuição de probabilidade para Y, com um termo de erro capturando o que a reta não explica. A afirmativa I está correta porque Y é modelada como variável aleatória condicionada aos valores de X, que no modelo clássico são tomados como não aleatórios. Já a III também está correta: dado um valor xi de X, os valores possíveis de Y vêm da distribuição condicional p(y|xi), e o observado pode ficar acima ou abaixo da reta teórica por causa do erro ε. A II está errada por dois motivos bem comuns em prova: ela troca os papéis de α e β ao dizer que a inclinação é α e a interseção é β, quando na verdade a inclinação é β e o intercepto é α. Além disso, a forma correta da relação é entre Y e o valor esperado de Y dado X, isto é, E(Y|X) = α + βX, e não um valor esperado de X. Em estatística, a banca gosta justamente dessas inversões de letra para testar atenção. Por isso, o gabarito C faz sentido: somente as afirmativas I e III estão de acordo com as premissas do modelo de regressão linear simples.