Uma máquina é responsável por encher pacotes de café automaticamente. Sabe-se que a quantidade de café colocada em cada pacote pela máquina é normalmente distribuída com média de 500 gramas e variância de 144 gramas2 . Para que o controle de qualidade dessa máquina seja realizado, coletou-se uma amostra aleatória de 36 pacotes de café enchidos por ela. Se a máquina estiver funcionando corretamente, a probabilidade do peso médio dos 36 pacotes diferir de 500 gramas por, no máximo, 4 gramas é: (Obs: Z é uma variável aleatória normal com média 0 e variância 1.)
- A)P (–1 < Z < 1)
Errada, porque ±1 desvio-padrão corresponderia a uma tolerância de 2 gramas, não de 4 gramas.
- B)P (– 2 < Z < 2)
Certa, pois o erro-padrão da média é 2 e, ao dividir 4 por 2, obtemos o intervalo padronizado -2 < Z < 2.
- C)P (–3 < Z < 3)
Errada, porque ±3 exigiria uma margem de 6 gramas na média, maior do que a informada.
- D)P (–4 < Z < 4)
Errada, porque ±4 em Z significaria uma margem de 8 gramas na média, bem acima do limite do enunciado.
Gabarito: B
Aqui a ideia é usar a distribuição da média amostral. Se cada pacote tem peso normalmente distribuído com média 500 g e variância 144 g², então o desvio-padrão da população é 12 g. Como a amostra tem 36 pacotes, o desvio-padrão da média fica 12/√36 = 2 g. Ou seja, a média dos 36 pacotes segue uma normal com média 500 e desvio-padrão 2. A pergunta quer a probabilidade de a média diferir de 500 por no máximo 4 gramas, isto é, P(|X̄ - 500| ≤ 4). Padronizando: (X̄ - 500)/2. Então 4/2 = 2, logo a conta vira P(-2 < Z < 2), onde Z é a normal padrão. Por isso o gabarito é a letra B. Não há truque de cálculo sofisticado aqui: é só lembrar que, para a média, a variância cai por n, e que a padronização transforma o problema em uma probabilidade na normal padrão. Em resumo: média amostral, erro-padrão e padronização. É o trio básico desse tipo de questão, sempre aparecendo em prova como se fosse um velho conhecido que voltou para o café.