Seja X uma variável aleatória que representa o tempo (em minutos) que um funcionário de telemarketing gasta atendendo um cliente. A partir de dados históricos, sabe-se que essa variável aleatória tem distribuição exponencial com a seguinte função densidade de probabilidade: ƒ(x) = λe-λx , x > 0. Considerando que E(X) = 6 minutos, qual o tempo mediano gasto pelo funcionário de telemarketing no atendimento de um cliente?
- A)ln(2)/6
Errada, porque ln(2)/6 seria a mediana se a taxa fosse 6, e não 1/6.
- B)6/ln(2)
Errada, pois 6/ln(2) é o inverso da expressão correta e não representa a mediana.
- C)6 ln(2)
Certa, porque na exponencial a mediana é ln(2)/λ e, como E(X)=6 implica λ=1/6, resulta em 6ln(2).
- D)6
Errada, porque 6 é a média informada no enunciado, não a mediana.
Gabarito: C
Na distribuição exponencial, a média e a taxa estao amarradas pela relação E(X) = 1/λ. Se o enunciado diz que E(X) = 6 minutos, então a taxa é λ = 1/6. Aqui o jogo é simples: a mediana é o ponto em que a probabilidade acumulada atinge 50%, ou seja, P(X \le m) = 0,5. Para a exponencial, a função de distribuição acumulada é F(x) = 1 - e^{-λx}. Então, na mediana m, voce resolve 1 - e^{-λm} = 0,5. Isso dá e^{-λm} = 0,5, logo λm = \ln(2). Portanto, m = \ln(2)/λ. Substituindo λ = 1/6, vem m = \ln(2) / (1/6) = 6\ln(2). Em valores aproximados, isso dá cerca de 4,16 minutos, ou seja, a metade dos atendimentos termina antes disso e a outra metade depois. Esse tipo de questão é clássico de prova: a banca troca média por mediana para ver se voce lembra que, na exponencial, elas não sao iguais. Aqui, o gabarito C está correto exatamente por aplicar a fórmula da mediana da exponencial com a taxa obtida a partir da média.