Sabe-se que a altura dos estudantes de uma universidade é modelada por uma distribuição normal com média desconhecida e desvio-padrão de 12 cm. Em um primeiro estudo, a partir de uma amostra com 64 estudantes dessa universidade, construiu-se o intervalo de confiança [167,54 ; 172,46] para a média populacional. Em um segundo estudo, uma amostra de tamanho 4 vezes maior foi coletada e foi obtida a mesma média amostral. Usando o mesmo nível de confiança do intervalo construído no primeiro estudo, o intervalo de confiança para a média populacional associado ao segundo estudo é dado por:
- A)[167,96 ; 172,04]
Errada, porque a margem de erro ainda ficou maior do que deveria após o aumento da amostra.
- B)[168,24 ; 171,76]
Errada, porque reduz a largura do intervalo, mas nao o suficiente para uma amostra 4 vezes maior.
- C)[168,77 ; 171,23]
Certa, pois o tamanho da amostra quadruplicou, o erro-padrao caiu pela metade e o intervalo ficou [168,77; 171,23].
- D)[169,02 ; 170,98]
Errada, porque estreita demais o intervalo, como se a reducao do erro fosse maior do que realmente acontece.
Gabarito: C
Em intervalo de confianca para a media, a ideia principal e simples: o centro do intervalo e a media amostral, e a largura depende do erro-padrao, que cai quando o tamanho da amostra aumenta. Aqui, como o desvio-padrao populacional e conhecido, usamos a formula com distribuicao normal: media amostral ± valor critico vezes sigma dividido por raiz de n. Ou seja, quanto maior a amostra, mais “apertado” fica o intervalo. A estatistica adora essa economia de incerteza. No primeiro estudo, o intervalo foi [167,54 ; 172,46], entao o centro e 170 e a margem de erro e 2,46. Como n = 64, o erro-padrao era 12/8 = 1,5. Logo, o valor critico usado foi 2,46/1,5 = 1,64, que deve ser mantido no segundo estudo porque o nivel de confianca nao mudou. No segundo estudo, a amostra ficou 4 vezes maior: de 64 passou para 256. Isso faz a raiz de n dobrar, entao o erro-padrao cai pela metade: 12/16 = 0,75. Mantendo o mesmo valor critico, a nova margem de erro fica 1,64 x 0,75 = 1,23. Assim, o novo intervalo e 170 ± 1,23, isto e, [168,77 ; 171,23]. Por isso o gabarito correto e a alternativa C.