Sejam X, Y e T variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas que representam o tempo de execução, em dias, de três diferentes tipos de projetos pelo setor de estatística de uma repartição pública. Sabe-se que E(X) = 9, E(Y) = 12, E(T) = 15 e que todas as três variáveis têm desvio- -padrão igual a 3 dias. Considere que no próximo mês será feita a execução de um projeto de cada um dos três tipos. A probabilidade de que o tempo médio gasto na execução desses projetos seja superior a duas semanas é dada por: (Dados: P(Z ≥ -2) = 0, 977; P(Z ≥ - 2/√3) = 0, 876; P(Z ≥ -2/3) = 0, 747; onde Z é uma variável aleatória com distribuição normal-padrão.)
- A)0,023
0,023 é a cauda complementar errada de outro ponto da normal, não a probabilidade pedida para a média acima de 14 dias.
- B)0,124
Correta: ao padronizar a média, obtém-se P(Z > 2/√3) = 1 - 0,876 = 0,124.
- C)0,253
0,253 não corresponde ao valor padronizado da média nem ao complemento de nenhuma das probabilidades fornecidas.
- D)0,747
0,747 é o valor dado na tabela para outro ponto da normal e foi obtido sem fazer o complemento correto.
- E)0,876
0,876 representa a probabilidade acumulada até 2/√3, isto é, o lado oposto ao que a questão pede.
Gabarito: B
Aqui a ideia é trabalhar com a média de variáveis normais independentes. Se X, Y e T são normais e independentes, então a média amostral delas também é normal. O valor esperado da média é a média dos esperados: (9 + 12 + 15)/3 = 12 dias. Agora vem o detalhe que derruba muita gente: o desvio-padrão da média não é 3. Como são independentes, a variância da soma é 9 + 9 + 9 = 27, e a variância da média fica 27/3² = 3. Logo, o desvio-padrão da média é √3. Queremos a probabilidade de a média ser superior a 14 dias. Padronizando: Z = (14 - 12)/√3 = 2/√3. Então a conta vira P(Z > 2/√3). Como a tabela fornecida dá P(Z ≥ -2/√3) = 0,876, pela simetria da normal-padrão isso equivale a P(Z ≤ 2/√3) = 0,876. Portanto, a cauda à direita é 1 - 0,876 = 0,124. Conclusão: o gabarito é a alternativa B. O tema aqui é clássico de probabilidade com normal e média de variáveis independentes, aquele tipo de questão em que a banca testa se você sabe achar a distribuição da média sem confundir desvio-padrão com variância.