Considere que X1, X2, ..., Xn é uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída com distribuição uniforme (0,1) e Y = max (X1, X2, ..., Xn). O valor esperado de Y é:
- A)1
Errada, porque o maximo de valores em (0,1) nao tem media igual a 1, ja que ainda pode assumir valores menores que 1.
- B)1/2
Errada, porque 1/2 e a media de uma variavel Uniforme(0,1), nao da estatistica maxima de uma amostra.
- C)n / n + 1
Certa, pois o valor esperado do maximo de n variaveis Uniforme(0,1) e n/(n+1).
- D)n / n + 1 / 2
Errada, porque essa expressao esta mal formada e nao corresponde ao resultado correto para o valor esperado do maximo.
Gabarito: C
Quando voce pega uma amostra de variaveis aleatorias uniformes em (0,1), cada valor tem a mesma chance de aparecer em qualquer ponto do intervalo. Aqui, o detalhe importante e que Y nao e um valor qualquer da amostra, mas sim o maior deles. Quanto mais observacoes voce junta, mais dificil fica o maximo ser baixo, entao ele tende a ficar perto de 1. Para o maximo de n variaveis U(0,1), a funcao de distribuicao de Y e P(Y <= y) = y^n, para 0 < y < 1. Isso leva a densidade f(y) = n y^(n-1). A partir dai, o valor esperado e obtido por E(Y) = integral de 0 a 1 de y * n y^(n-1) dy. Fazendo a conta, voce chega em E(Y) = n/(n+1). Ou seja, o maximo medio da amostra cresce com n e se aproxima de 1, o que combina com a intuicao: com mais tentativas, fica mais provavel aparecer um numero bem alto no intervalo. Por isso o gabarito e a alternativa C. E um resultado classico de estatistica/probabilidade para a distribuicao do maximo de amostras uniformes, muito usado em distribuicoes de ordem.