Considere que um índice de desempenho acadêmico de 120 estudantes de uma instituição foi construído através da análise de componentes principais, tomando como base os valores das suas notas em quatro disciplinas X = (X1, X2, X3, X4). Os autovalores extraídos da matriz de covariâncias foram, respectivamente, iguais a 13, 4, 2, 1 e o primeiro autovetor normalizado foi e1 = (0,5; 0,2; 0,5; 0,7). O percentual de explicação da primeira componente principal e o valor do índice de desempenho de um estudante com notas X = (60, 70, 85, 80) são, respectivamente:
- A)65% e 173,75
Errada, porque o percentual da primeira componente nao e 65%? Na verdade, o valor do indice esta correto, mas a explicacao da componente nao bate com os autovalores informados.
- B)85% e 142,50
Errada, porque 85% nao resulta da razao 13 sobre a soma dos autovalores, e o indice 142,50 esta correto isoladamente.
- C)65% e 142,50
Certa, pois a primeira componente explica 13/20 = 65% da variancia e o indice calculado pelo primeiro autovetor e 142,50.
- D)85% e 173,75
Errada, porque 85% nao e o percentual correto de explicacao da primeira componente, embora o indice 173,75 nao corresponda ao produto escalar com o autovetor dado.
Gabarito: C
Na analise de componentes principais, a primeira ideia e sempre olhar quanta variancia a primeira componente consegue “segurar”. Aqui, isso vem da razao entre o primeiro autovalor e a soma de todos os autovalores: 13 dividido por (13 + 4 + 2 + 1). Como a soma e 20, a primeira componente explica 65% da variabilidade total. Simples, direto e muito cobrado em prova. Depois, para montar o indice de desempenho, voce usa o primeiro autovetor normalizado como uma combinacao linear das notas. Ou seja, faz-se 0,5 vezes X1, mais 0,2 vezes X2, mais 0,5 vezes X3, mais 0,7 vezes X4. Substituindo X = (60, 70, 85, 80), temos 30 + 14 + 42,5 + 56 = 142,5. Entao o par correto e 65% e 142,50, que corresponde ao gabarito C. A banca gosta justamente dessa leitura objetiva: autovalor para explicar variancia e autovetor para formar o escore do componente. Nao tem misterio, mas tem conta bem feita.