Considere que X e Y são duas variáveis aleatórias e independentes que representam duas quantidades físicas. Adicionalmente, sabe- -se que V(X) = 1 e V(Y) = 3, em que V representa a variância. Com base nessas informações, o desvio-padrão da variável W = 2X + √7 Y é:
- A)√5
Errada, porque √5 seria um desvio-padrao muito menor do que o valor obtido ao aplicar corretamente a formula da variancia.
- B)5
Certa, pois V(W)=2²·1+(√7)²·3=4+21=25 e, logo, o desvio-padrao e √25=5.
- C)13
Errada, porque 13 nao corresponde nem a variancia nem ao desvio-padrao dessa combinacao linear.
- D)25
Errada, porque 25 e a variancia de W, nao o desvio-padrao.
- E)36
Errada, porque 36 nao aparece em nenhuma etapa do calculo de V(W) ou de seu desvio-padrao.
Gabarito: B
Quando voce trabalha com variancia de uma combinacao linear, a regra de ouro e simples: se as variaveis sao independentes, a variancia da soma nao “mistura” os termos. Ela vira a soma das variancias ponderadas pelos quadrados dos coeficientes: V(aX + bY) = a²V(X) + b²V(Y). Aqui, W = 2X + √7 Y. Como X e Y sao independentes, temos V(W) = 2²·V(X) + (√7)²·V(Y). Substituindo os valores dados, fica V(W) = 4·1 + 7·3. Fazendo a conta, V(W) = 4 + 21 = 25. E desvio-padrao e a raiz quadrada da variancia, entao σ(W) = √25 = 5. Ou seja, o gabarito B esta correto. A banca costuma testar exatamente essa troca entre variancia e desvio-padrao: muita gente calcula a variancia certo, mas esquece de tirar a raiz no final.