Para investigar se a população de determinado distrito ficou satisfeita com as medidas adotadas pela prefeitura foi conduzido um teste de hipóteses. As hipóteses nula e alternativa do teste são, respectivamente, H0: p = 0,9 e H1: p > 0,9, em que p é a proporção da população satisfeita com as medidas adotadas pela prefeitura. Com base em uma amostra de tamanho 400, a hipótese nula do teste será rejeitada se pelo menos 368 pessoas estiverem satisfeitas. Nesse contexto, qual o nível de significância aproximado do teste empregado? Observação: φ (z) = P (Z ≤ z), onde Z ~ N (0,1).
- A)Φ(1/3)
Errada, porque Φ(1/3) é uma probabilidade acumulada à esquerda e ainda com valor incompatível com a cauda direita do teste.
- B)Φ(4/3)
Errada, pois Φ(4/3) representa a área à esquerda de 4/3, mas o alpha é a área à direita do ponto crítico.
- C)1-Φ(1/3)
Errada, porque 1 - Φ(1/3) usa o z errado; o ponto crítico não é 1/3.
- D)1-Φ(2/3)
Errada, pois 1 - Φ(2/3) também usa um valor de z incompatível com a fronteira de rejeição dada.
- E)1-Φ(4/3)
Certa, porque sob H0 o valor crítico corresponde a z = 4/3 e o nível de significância é a cauda direita, isto é, 1 - Φ(4/3).
Gabarito: E
Aqui a ideia é simples: o nível de significância é a probabilidade de rejeitar H0 quando H0 é verdadeira, ou seja, o erro tipo I. Como a região crítica já foi dada, basta calcular a chance de, sob p = 0,9, aparecerem pelo menos 368 satisfeitos em uma amostra de 400. Se X é o número de satisfeitos, então sob H0 temos X ~ Bin(400, 0,9). Pela aproximação normal, a média é np = 360 e o desvio-padrão é raiz de np(1-p) = raiz(400·0,9·0,1) = 6. Agora vem o pulo do gato: a banca trabalha com a aproximação direta, então z = (368 - 360)/6 = 4/3. Logo, o nível de significância é P(Z >= 4/3) = 1 - Φ(4/3). Isso é exatamente a alternativa E. Em linguagem de prova: a área da cauda direita a partir do ponto crítico é o alpha do teste. Se você quiser pensar de modo intuitivo, a amostra precisa vir bem acima do esperado sob H0 para derrubar a hipótese nula. Quanto mais longe da média, menor a cauda, e menor o nível de significância.