O número N de processos julgados por semana em um Conselho Regional de Medicina possui uma distribuição Poisson com desvio-padrão igual a 2. (Considere: e –4 ≈ 0,02 e e–2 ≈ 0,14, caso necessário.) Sobre essa variável aleatória, assinale a alternativa correta.
- A)A função geradora de momentos da variável N é MN(t) = e 4et–1 .
Errada, porque a função geradora de momentos da Poisson(4) é M_N(t) = exp[4(e^t - 1)], e não a expressão apresentada.
- B)Em uma semana, a probabilidade de serem julgados dois processos é 0,32.
Errada, pois P(N=2) = e^{-4}4^2/2! = 8e^{-4} \approx 0,16, e não 0,32.
- C)A probabilidade de serem julgados no máximo um processo em uma semana é 0,10.
Certa, porque P(N\leq 1) = P(0)+P(1) = e^{-4}+4e^{-4} = 5e^{-4} \approx 0,10.
- D)A probabilidade de haver cinco processos julgados em uma semana é maior que a probabilidade de quatro processos serem julgados no mesmo período.
Errada, porque na Poisson com \u03bb=4 a probabilidade de 4 é maior do que a de 5, já que a distribuição está centrada em torno da média.
Gabarito: C
Quando uma variável segue distribuição de Poisson, a ideia central é contar quantas vezes um evento acontece em um intervalo fixo, como por semana, por hora ou por página. Aqui, o enunciado diz que o número de processos julgados por semana tem distribuição Poisson e que o desvio-padrão é 2. Em Poisson, a média e a variância são iguais a \u03bb, então o desvio-padrão é \u221a\u03bb. Logo, \u221a\u03bb = 2, o que dá \u03bb = 4. Com \u03bb = 4, você já consegue testar as alternativas. A fórmula da Poisson é P(N=k) = e^{-\u03bb}\u03bb^k/k!. Assim, P(N\u22640) = P(0)+P(1) = e^{-4} + 4e^{-4} = 5e^{-4}. Usando a aproximação dada, e^{-4} \approx 0,02, então 5e^{-4} \approx 0,10. É exatamente o valor da alternativa C. As demais opções escorregam em pontos clássicos: na função geradora de momentos da Poisson, a forma correta é M_N(t) = exp[\u03bb(e^t - 1)], e com \u03bb = 4 fica exp[4(e^t - 1)]. Já a probabilidade de 2 processos em uma semana é e^{-4}4^2/2! = 8e^{-4} \approx 0,16, e não 0,32. Por fim, em Poisson com \u03bb=4, a probabilidade de 5 é menor que a de 4, porque a distribuição está no pico perto da média, então a comparação da letra D está invertida. Resumo de prova: achou o desvio-padrão, lembre que em Poisson ele vira raiz de \u03bb. Depois, calcule \u03bb e use a fórmula básica. É uma conta curta, mas a banca adora esconder isso com enunciado de cara séria e expressão de probabilidade.