Considere a realização de um experimento aleatório que consiste em fazer tentativas de Bernoulli, de modo que: • As tentativas sejam independentes; • Cada tentativa apresente apenas um de dois resultados possíveis (0: fracasso ou 1: sucesso); • A probabilidade p de um sucesso em cada tentativa, 0 < p < 1, é constante; • Y é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o primeiro sucesso; e, • W é a variável aleatória que conta o número de tentativas feitas até o k-ésimo sucesso, sendo k um número natural maior que 1. Sobre esse experimento, analise as afirmativas a seguir. I. A variável aleatória Y possui a propriedade de perda de memória. II. A variável aleatória W possui uma distribuição hipergeométrica. III. O valor esperado de Y é E(Y) = 1/p . Está correto o que se afirma em
- A)I, II e III.
A opção reúne as três afirmações, isto é, que Y tem perda de memória, que W seria hipergeométrica e que E(Y)=1/p. A primeira e a terceira descrevem a variável geométrica Y: ela é memoryless e sua esperança, quando Y conta o número de tentativas até o primeiro sucesso, é 1/p. O problema está na segunda, porque o número de tentativas até o k-ésimo sucesso segue distribuição binomial negativa, e não hipergeométrica, que é usada em amostragem sem reposição.
- B)I, apenas.
A opção afirma apenas que Y possui a propriedade de perda de memória. Isso procede porque Y tem distribuição geométrica, a única discreta com essa característica nesse contexto de tentativas de Bernoulli independentes. Ocorre que a questão também traz como verdadeira a esperança E(Y)=1/p, de modo que restringir a resposta somente à I deixa de fora outra afirmativa correta.
- C)I e II, apenas.
A opção sustenta que I e II estão corretas. A afirmativa I é verdadeira pelo caráter geométrico de Y, mas a II falha, pois W mede o tempo até o k-ésimo sucesso e, nesse cenário, a distribuição adequada é a binomial negativa, não a hipergeométrica. Como a segunda assertiva erra o tipo de distribuição, o conjunto proposto não corresponde ao experimento descrito.
- D)I e III, apenas.
A opção indica que somente I e III estão corretas. De fato, Y é geométrica e, por isso, possui perda de memória, além de ter esperança E(Y)=1/p quando se conta o número de tentativas até o primeiro sucesso. A afirmativa II é a única incorreta, porque W até o k-ésimo sucesso não é hipergeométrica, mas binomial negativa.
- E)II e III, apenas.
A opção reúne II e III. A III está correta, pois a média do número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de Bernoulli é 1/p, mas a II erra ao atribuir distribuição hipergeométrica a W. Além disso, a I também é verdadeira, então a alternativa ainda falha por omitir uma assertiva correta e incluir uma distribuição indevida.
Gabarito: D
Aqui a ideia é reconhecer duas distribuições clássicas de tentativas de Bernoulli. Quando a variável Y conta o número de tentativas até o primeiro sucesso, ela tem distribuição geométrica. Essa distribuição é famosa pela propriedade de perda de memória: se o sucesso ainda nao aconteceu, a chance de esperar mais um certo número de tentativas é a mesma, independentemente do que já ocorreu antes. Já a variável W conta quantas tentativas são necessárias até ocorrer o k-ésimo sucesso. Isso não é hipergeométrica, porque a hipergeométrica aparece em amostras sem reposição. Aqui as tentativas são independentes e com probabilidade constante p, então W segue distribuição binomial negativa, também chamada de Pascal. Outro ponto importante é o valor esperado de Y. Para a distribuição geométrica, considerando Y como o número de tentativas até o primeiro sucesso, vale E(Y) = 1/p. É uma fórmula bem cobrada e costuma aparecer exatamente assim em prova. Logo, estão corretas as afirmativas I e III, e a II está errada. Por isso, o gabarito é a letra D.