Na teoria de probabilidade, o teorema responsável por estabelecer que a distribuição da soma (ou média) de um grande número de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas será, aproximadamente, normal, independentemente da distribuição subjacente dessas denomina-se:
- A)Teorema de Bayes.
Errada, porque o Teorema de Bayes trata de probabilidade condicional e atualização de crenças, não da distribuição da soma de variáveis aleatórias.
- B)Teorema central do limite.
Certa, porque o Teorema Central do Limite diz que a soma ou média de muitas variáveis i.i.d. tende a uma distribuição aproximadamente normal.
- C)Lei forte dos grandes números.
Errada, porque a Lei Forte dos Grandes Números garante convergência quase certa da média para a esperança, mas não fala que a distribuição vira normal.
- D)Lei fraca dos grandes números.
Errada, porque a Lei Fraca dos Grandes Números também trata da convergência da média para o valor esperado, e não da forma normal da distribuição.
- E)Teorema da convergência dominada.
Errada, porque o Teorema da Convergência Dominada é um resultado de análise sobre troca de limite e integral, não sobre distribuição de soma de variáveis aleatórias.
Gabarito: B
Quando você junta muitas variáveis aleatórias independentes e com a mesma distribuição, acontece uma espécie de "nivelamento": a soma, ou até a média, começa a se comportar de forma aproximadamente normal. Isso vale mesmo que a distribuição original seja diferente da normal. É justamente essa a ideia do teorema central do limite, um dos resultados mais famosos da probabilidade. Na prática, ele explica por que a curva normal aparece tanto em estatística. Mesmo quando os dados de origem são assimétricos, discretos ou bem diferentes entre si na forma, a soma de muitos pequenos efeitos tende a assumir um formato em sino. Claro, existem condições técnicas, como independência e variância finita, mas a mensagem principal é essa. Por isso, o gabarito é a letra B. O enunciado descreve exatamente o teorema que garante essa aproximação normal para somas e médias de variáveis i.i.d. independentemente da distribuição subjacente. Aproveitando a confusão clássica: a Lei dos Grandes Números fala de estabilidade da média amostral em relação ao valor esperado, e não de formato normal da distribuição. Já Bayes trata de atualização de probabilidades, e não de comportamento assintótico de somas. Então, aqui não tem mistério: é o teorema central do limite.