Em matemática, uma cadeia de Markov em tempo discreto é um caso particular de um processo estocástico com estados discretos (o parâmetro, em geral o tempo, pode ser discreto ou contínuo) com a propriedade de que a distribuição de probabilidade do próximo estado depende apenas do estado atual e não da sequência de eventos que o precederam. Sobre as cadeias de Markov em tempo discreto, analise as afirmativas a seguir. I. Uma cadeia é irredutível se todos os estados comunicam entre si. II. Se uma cadeia é finita, existe pelo menos um estado recorrente. III. Uma cadeia é aperiódica se apresenta período 0. Está correto o que se afirma em
- A)I, II e III
Esta alternativa reúne as três afirmativas como verdadeiras. As assertivas I e II estão corretas, pois uma cadeia irredutível exige que todos os estados se comuniquem entre si, e em uma cadeia finita sempre existe ao menos um estado recorrente. O problema está na III, porque aperiodicidade não significa período 0; em teoria de Markov, um estado aperiódico é aquele cujo período é 1, isto é, o MDC dos tempos de retorno possíveis é igual a 1.
- B)I, apenas.
Aqui se sustenta apenas a afirmativa I, de que a irredutibilidade ocorre quando todos os estados comunicam entre si. Essa definição está mesmo correta, mas a opção fica incompleta porque a afirmativa II também é verdadeira em cadeias finitas, já que a finitude garante a existência de pelo menos um estado recorrente. Portanto, a alternativa deixa de fora uma proposição que também deveria ser marcada.
- C)I e II, apenas.
Esta é a combinação correta porque contempla as afirmativas I e II, que são verdadeiras. Irredutível é a cadeia em que todos os estados se comunicam, e em uma cadeia finita necessariamente existe pelo menos um estado recorrente. A afirmativa III é falsa, pois não se define aperiodicidade por período 0, mas por período 1, de modo que a opção acerta exatamente no conjunto das proposições verdadeiras.
- D)II e III, apenas.
A alternativa afirma que apenas as proposições II e III estariam corretas. A II realmente procede, porque toda cadeia finita possui ao menos um estado recorrente, mas a III está errada ao atribuir período 0 à aperiodicidade, já que o conceito técnico usa período 1. Além disso, a I também é verdadeira, então a opção ainda exclui uma afirmativa que deveria constar no gabarito.
Gabarito: C
Nesta questão, a banca mistura conceitos clássicos de cadeias de Markov em tempo discreto: irredutibilidade, recorrência e periodicidade. A ideia central é sempre olhar para como os estados se relacionam e não só para o nome bonito do conceito. Uma cadeia é irredutível quando todos os estados se comunicam entre si, isto é, você consegue sair de qualquer estado e chegar a qualquer outro, talvez em alguns passos. Então a afirmativa I está correta. Em uma cadeia finita, sempre existe pelo menos um estado recorrente. Em linguagem simples: em um sistema com número finito de estados, não dá para ficar eternamente fugindo de todos eles; algum estado acaba sendo recorrente. Por isso, a afirmativa II também está correta. Já a afirmativa III está errada: aperiocidade não significa período 0. O período de um estado é definido por um máximo divisor comum de tempos de retorno e, se a cadeia é aperiódica, o período é 1, não 0. Logo, somente I e II estão corretas, confirmando o gabarito C.