Determinada fábrica de refrigerantes possui três máquinas (I, II e III), que são responsáveis pelo preenchimento de 40%, 50% e 10% do total de latas de refrigerantes produzidas, respectivamente. Das latas de refrigerante preenchidas pelas máquinas I, II e III, sabe-se que 3%, 5% e 2% estão com volume diferente do especificado na embalagem (fora do padrão), respectivamente. Uma lata de refrigerante é escolhida aleatoriamente. Qual a probabilidade aproximada dela ter sido preenchida pela máquina II se ela está fora do padrão?
- A)0,359
Errada, porque 0,359 nao corresponde a P(II | fora do padrao) e costuma aparecer quando se faz uma conta equivocada com complemento ou sem Bayes.
- B)0,454
Errada, pois 0,454 nao resulta da razao entre o defeito da máquina II e o defeito total; falta considerar o peso de cada máquina na producao.
- C)0,546
Errada, porque 0,546 ainda nao e a probabilidade condicional correta e sugere mistura entre proporcao produzida e taxa de defeito.
- D)0,641
Certa, pois aplicando Bayes temos P(II | fora) = (0,5 x 0,05) / (0,4 x 0,03 + 0,5 x 0,05 + 0,1 x 0,02) ≈ 0,641.
- E)0,687
Errada, porque 0,687 superestima a chance da máquina II ao ignorar o denominador completo da probabilidade de defeito.
Gabarito: D
Aqui a palavra-chave é probabilidade condicional, e ela quase sempre chama o Teorema de Bayes para a festa. A pergunta nao quer a chance de sair da máquina II em geral, mas sim a chance de ter vindo da máquina II sabendo que a lata esta fora do padrão. Isso muda tudo, porque voce precisa "inverter" a informacao dada. Primeiro, calcule a chance total de uma lata estar fora do padrão: vem da máquina I com 40% e defeito de 3%, da II com 50% e defeito de 5%, e da III com 10% e defeito de 2%. Entao, a probabilidade total de defeito e 0,4 x 0,03 + 0,5 x 0,05 + 0,1 x 0,02 = 0,039, ou 3,9%. Agora aplique Bayes: P(II | fora do padrão) = P(II e fora) / P(fora) = (0,5 x 0,05) / 0,039 = 0,025 / 0,039 ≈ 0,641. Ou seja, depois que voce sabe que a lata esta com problema, a máquina II vira a mais provavel de ter sido a origem desse item. Por isso o gabarito e a alternativa D. Em provas de concurso, a banca adora testar se voce confunde "probabilidade de a máquina II falhar" com "probabilidade de a lata defeituosa ter vindo da máquina II". Sao ideias parecidas, mas estatisticamente sao duas portas diferentes.