Para se fazer a estimação intervalar da média populacional μ de uma variável aleatória X que segue uma distribuição Normal (μ, σ2), com σ2 = 64, extraiu-se uma amostra aleatória de tamanho n = 36. A média e a variância amostrais obtidas são dadas por = 57 e 2 = 49, respectivamente. Deseja-se fazer a estimação com um nível de 90% de confiança. Então, os limites inferior e superior aproximados do intervalo de confiança desejado são, respectivamente: (Dados: P(Z ≤ 1,28) = 0,90; P(Z ≤ 1,64) = 0,95; P(t35 ≤ 1,31) = 0,90; P(t35 ≤ 1,69) = 0,95; onde Z é uma variável aleatória com distribuição Normal-padrão e tk é uma variável aleatória com distribuição t-Student com K graus de liberdade.)
- A)54,75 e 59,25.
Errada, porque os limites 54,75 e 59,25 nao batem com o erro-padrao calculado a partir de σ = 8 e do valor critico de 90%.
- B)54,81 e 59,19.
Certa, pois usa σ conhecida, valor critico 1,64 para 90% bilateral e resulta em 57 ± 2,19, isto e, 54,81 e 59,19.
- C)55,03 e 58,97.
Errada, porque gera uma margem de erro menor do que a correta, produzindo um intervalo estreito demais.
- D)55,29 e 58,71.
Errada, porque os limites apresentados nao correspondem ao produto entre o valor critico e o erro-padrao da media.
- E)55,47 e 58,53.
Errada, porque a margem de erro ficou ainda menor, mostrando que houve uso incorreto do valor critico ou do desvio-padrao.
Gabarito: B
Aqui a ideia central é simples: quando a variancia populacional (σ²) e conhecida, o intervalo de confiança para a media populacional μ usa a distribuicao Normal-padrao (Z), e nao a t-Student. Isso acontece porque o desvio-padrao populacional ja foi dado: σ² = 64, logo σ = 8. Como a amostra tem tamanho n = 36, o erro-padrao da media fica 8/6 = 1,333... e o intervalo vai ser media amostral ± valor critico × erro-padrao. Como o nivel de confiança e 90%, sobra 10% para as caudas, ou seja, 5% em cada lado. O valor critico correspondente e 1,64, pois o enunciado ja forneceu P(Z ≤ 1,64) = 0,95, que e exatamente o ponto usado para um IC bilateral de 90%. Fazendo a conta: 57 ± 1,64 × 1,333..., temos 57 ± 2,186..., resultando em aproximadamente 54,81 e 59,19. Esse e o intervalo correto, então o gabarito e a alternativa B. A variancia amostral 49 aparece como distração elegante da banca. Ela ate poderia ser usada se σ² nao fosse conhecida, mas aqui ela nao manda no jogo: quem manda e o 64 dado no enunciado.