O diretor-geral de uma grande rede de escolas deseja estudar a relação entre a nota dos alunos do ensino médio em uma determinada prova de conhecimentos gerais (Y, em pontos) com o sexo do aluno (X1 = 0, se feminino; X1 = 1, se masculino), a idade do aluno (X2, em anos) e a sua renda familiar per capita (X3, em reais). O estatístico contratado pra resolver esse problema selecionou uma amostra aleatória de alunos, ajustou um modelo de regressão linear múltipla usando as variáveis explicativas X1, X2, X3 e Y como a variável resposta. Ele apresentou ao diretor as seguintes conclusões: I. A nota média do aluno cresce linearmente com relação a sua idade. II. A nota média do aluno cresce linearmente com relação a sua renda familiar per capita. III. A média da nota do aluno difere entre os dois sexos. IV. O efeito linear da renda familiar per capita na nota não é o mesmo para qualquer idade, e vive-versa. V. O efeito linear do sexo do aluno na nota é o mesmo para qualquer idade e renda familiar per capita. Considerando as conclusões anteriores, marque a alternativa que corresponde a uma possível representação da estrutura do modelo final apresentado ao diretor-geral.
- A)Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X3 + erro
Errada, porque traz apenas efeitos principais e ignora a interação entre idade e renda exigida pela conclusão IV.
- B)Y = β0 + β1 X2 + β2 X3 + β3 X2 X3 + erro
Errada, porque inclui idade, renda e sua interação, mas deixa de fora o sexo, que também foi indicado como relevante pela conclusão III.
- C)Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 X2 X3 + erro
Certa, porque inclui os três efeitos principais e a interação X2X3, exatamente o que as conclusões I a V permitem.
- D)Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 X1 X2 + β5 X1 X3 + β6 X2 X3 + erro
Errada, porque acrescenta interações com o sexo, embora a conclusão V diga que o efeito do sexo é o mesmo para qualquer idade e renda.
Gabarito: C
Em regressão linear múltipla, cada termo do modelo conta uma história. Os termos X1, X2 e X3 representam os efeitos principais de sexo, idade e renda sobre a nota média. Já o termo de interação aparece quando o efeito de uma variável depende do valor da outra, como se uma “mexesse no botão” da outra. Aqui, isso é o que acontece com idade e renda: o enunciado diz que o efeito da renda não é o mesmo para qualquer idade, e vice-versa. As conclusões I, II e III indicam que idade, renda e sexo podem estar no modelo como efeitos principais. A conclusão IV, porém, exige a interação entre idade e renda, isto é, o termo X2X3. E a conclusão V diz que o efeito do sexo é o mesmo para qualquer idade e renda, então não faz sentido colocar interações de X1 com X2 ou X3. Por isso, a estrutura compatível é Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β4X2X3 + erro. A alternativa C é a única que traz os três efeitos principais e a interação necessária entre idade e renda, sem inventar interações extras com sexo. Em linguagem de prova: quando o enunciado diz que o efeito de uma variável depende da outra, você deve pensar em interação. E quando diz que o efeito é o mesmo em qualquer situação, você não adiciona interação. É o básico do jogo em regressão, só que com roupa de gala.