Considere as seguintes afirmativas sobre o Método dos Mínimos Quadrados Ordinário: I. O método dos mínimos quadrados consiste em adotar estimadores que minimizam a soma dos quadrados dos desvios entre valores estimados e valores observados na amostra. II. Os resíduos são dependentes dos valores da variável preditora. III. Há uma diferença entre o resíduo (ei) e o erro aleatório (εi). O resíduo se refere sempre ao modelo ajustado aplicado à sua amostra de ajuste. Por sua vez, o erro aleatório se refere ao modelo no âmbito da população, ou seja, Y = β0 + β1X + ε ⇒ ε = Y − (β0 + β1X) ⇒ ε = Y − E({Y}). IV.A soma dos resíduos não é nula, ou seja, ∑ ei ≠ 0. Assinale a alternativa CORRETA:
- A)Somente a afirmativa II é verdadeira.
Essa opção afirma que apenas a afirmativa sobre os resíduos dependerem da variável preditora estaria correta. O problema é que, no MQO, não se admite dependência sistemática dos resíduos em relação a X; o esperado é ausência de padrão e média condicional nula, isto é, E(e|X)=0, sob o modelo bem especificado. Além disso, as afirmativas I e III descrevem corretamente a ideia de mínimos quadrados e a diferença entre resíduo amostral e erro populacional.
- B)Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
Aqui se sustenta que o MQO minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre observado e ajustado, e que existe diferença entre o resíduo e o erro aleatório. Isso está certo: o critério de estimação é justamente minimizar Σ(yi-ŷi)², e o resíduo ei é calculado na amostra com valores estimados, enquanto εi é o termo não observável do modelo populacional, ligado a Y|X. A observação mais técnica é que o erro é definido por Y-E(Y|X), não por E(Y) de forma irrestrita, mas a essência da afirmativa permanece correta.
- C)Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
Essa alternativa diz que são verdadeiras a ideia de minimização da soma dos quadrados e a afirmação de que a soma dos resíduos não é nula. A primeira parte está correta, mas a segunda contraria uma propriedade clássica do MQO com intercepto: pelas equações normais, a soma dos resíduos ajustados é zero, ou seja, Σei=0. Por isso, o enunciado da IV está errado e a opção não se sustenta.
- D)Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
A opção apresenta como corretas a tese de que os resíduos dependem da variável explicativa e a distinção entre resíduo e erro aleatório. A segunda parte procede, pois o resíduo é o erro estimado na amostra e o erro ε é o termo populacional do modelo; já a primeira parte é incompatível com o ajuste por MQO, que não pressupõe relação sistemática entre resíduos e X e, idealmente, produz resíduos sem padrão em relação à preditora. Como a afirmação II falha, a alternativa fica incorreta.
- E)Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.
Essa alternativa combina a ideia de que os resíduos dependem da preditora com a de que a soma dos resíduos não é zero. As duas falham no mérito: resíduos não devem mostrar dependência sistemática em relação a X, e no MQO com intercepto vale Σei=0. Portanto, a opção não pode ser aceita como correta.
Gabarito: B
O Método dos Mínimos Quadrados Ordinário (MQO) é a base da regressão linear: ele escolhe os coeficientes da reta que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, isto é, das diferenças entre o valor observado e o valor ajustado pelo modelo. Em termos simples, o modelo tenta “errar o menos possível” no conjunto da amostra, e por isso a afirmativa I está correta. Também é importante separar duas ideias que muita gente mistura: erro aleatório (ε) e resíduo (e). O erro aleatório é o termo teórico do modelo populacional, aquilo que não observamos diretamente; já o resíduo é o que sobra depois de ajustar o modelo aos dados da amostra. A afirmativa III está correta exatamente por fazer essa distinção. A afirmativa II está errada porque resíduos não são, em regra, dependentes do valor da variável preditora de forma direta como a frase sugere. Em um modelo bem ajustado, espera-se que os resíduos se comportem como ruído, sem padrão sistemático em relação a X. Já a IV também está errada, porque, no MQO com intercepto, a soma dos resíduos é nula, isto é, ∑e_i = 0, não diferente de zero. Assim, sobram verdadeiras apenas I e III, que correspondem ao gabarito B. É aquela questão clássica de prova: se você sabe a diferença entre resíduo, erro e a propriedade da soma dos resíduos, mata a questão sem sofrer.