Assinale a opção em que é apresentada situação na qual o conjunto de variáveis aleatórias { X1 , X2, X3, X4 } denota uma amostra aleatória simples de tamanho 4, com reposição retirada de uma distribuição de Bernoulli.
- A)As variáveis aleatórias são independentes, em que cada Xk segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, para todo k ∈ { 1,2,3,4 }.
Certa, porque traz independência e mesma distribuição Bernoulli(p) para as quatro variáveis.
- B)X1 segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso , e X1 , X2, X3, e X4 seguem distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p , com .
Errada, porque indica que apenas X1 teria um comportamento diferente e depois todas teriam outra condição, quebrando a ideia de identicidade da amostra.
- C)X1 , X2 e seguem distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso , e X3 e X4 seguem distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, com .
Errada, porque mistura probabilidades de sucesso diferentes entre os grupos de variáveis, então elas não são todas provenientes da mesma Bernoulli(p).
- D)As variáveis aleatórias são correlacionadas, e cada Xk segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, para todo k ∈ { 1,2,3,4 } .
Errada, porque uma amostra aleatória simples exige independência, não correlação entre as variáveis.
- E)X1 segue distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p1 e X2 segue de Bernoulli com probabilidade de sucesso p1 > p2.
Errada, porque atribui probabilidades de sucesso diferentes às variáveis, o que contraria a ideia de mesma distribuição em uma amostra aleatória simples.
Gabarito: A
Uma amostra aleatória simples com reposição, retirada de uma distribuição de Bernoulli, significa que cada observação é produzida do mesmo jeito, com a mesma probabilidade de sucesso p, e sem que uma jogue nas costas da outra. Em outras palavras: cada Xk tem distribuição Bernoulli(p) e as variáveis são independentes entre si. Isso é o coração do conceito de amostra aleatória: mesma distribuição e independência. Na distribuição de Bernoulli, cada variável só pode assumir 0 ou 1, representando insucesso e sucesso. Então, se você tira 4 vezes com reposição, a chance de sucesso continua a mesma em todas as tentativas, porque o sorteio anterior não altera o próximo. Parece óbvio, mas é exatamente aí que a banca gosta de tropeço. Por isso, o gabarito é a alternativa A: ela afirma independência e que cada Xk segue Bernoulli com a mesma probabilidade de sucesso p, para k = 1, 2, 3 e 4. Isso descreve corretamente uma amostra aleatória simples de tamanho 4 com reposição. Como ideia prática, pense em 4 lançamentos de uma moeda viciada: cada lançamento é independente e tem a mesma chance de cair cara. Se mudasse a probabilidade entre as observações ou houvesse dependência, já não seria amostra aleatória simples nesse sentido clássico.