Considerando-se uma variável aleatória contínua X cuja função de distribuição de probabilidade acumulada é representada por F ( x ), na qual x E ℝ, e sabendo que F( x2 ) - F( x1 ) = x 2 - x 1, com 0 < x 1 < x 2 < 1, conclui-se que a variância de X é igual a
- A)1 / 12.
Correta, porque a condição dada identifica a distribuição Uniforme(0,1), cuja variância é 1/12.
- B)1 / 3.
Errada, pois 1/3 não é a variância da Uniforme(0,1) e costuma aparecer por confusão com momentos ou fórmulas mal lembradas.
- C)1 / 2.
Errada, 1/2 não corresponde à variância da distribuição uniforme no intervalo dado.
- D)1 .
Errada, variância igual a 1 seria incompatível com uma variável limitada entre 0 e 1.
- E)3 / 2.
Errada, 3/2 também não tem relação com a variância da Uniforme(0,1) e é um valor alto demais para esse intervalo.
Gabarito: A
Quando a função de distribuição acumulada cresce de forma linear, com F(x2) - F(x1) = x2 - x1 para 0 < x1 < x2 < 1, isso entrega a pista de ouro: a variável segue uma distribuição Uniforme no intervalo (0,1). Em linguagem simples, todos os valores entre 0 e 1 têm a mesma chance de aparecer, sem preferidos nem excluídos. Como a densidade é constante nesse intervalo, temos X ~ U(0,1). Para a Uniforme(0,1), a variância é um resultado clássico: Var(X) = (b - a)^2 / 12. Aqui, a = 0 e b = 1, então Var(X) = 1^2 / 12 = 1/12. É aquele tipo de conta que a banca gosta de esconder atrás de uma definição de CDF, mas no fundo é a uniforme piscando para você. Então o gabarito A está correto porque a condição dada caracteriza a distribuição uniforme no intervalo (0,1), e a variância dessa distribuição é exatamente 1/12. Esse é um resultado padrão de teoria de probabilidade, amplamente usado em estatística básica e em cursos preparatórios.