Considerando-se que X seja uma variável aleatória discreta tal que P ( X > x ) = 0,8 x+1 , para x ∈ { 0, 1, 2, 3, … }, conclui-se que P ( X = 2 ) é igual a
- A)0,8.
Errada, porque 0,8 é a probabilidade de cauda em um ponto específico, não a probabilidade exata de X = 2.
- B)0,64.
Errada, porque 0,64 corresponde a P(X > 1), e não a P(X = 2).
- C)0,16.
Errada, porque 0,16 não resulta da diferença correta entre P(X > 1) e P(X > 2).
- D)0,128.
Certa, pois P(X = 2) = P(X > 1) - P(X > 2) = 0,8^2 - 0,8^3 = 0,128.
- E)0,1024.
Errada, porque 0,1024 é 0,8^4, valor que não representa a probabilidade pedida.
Gabarito: D
Quando a questão traz a função de cauda, isto é, P(X > x), você pode recuperar a probabilidade exata por diferença entre dois valores consecutivos. Em variáveis discretas inteiras, vale a ideia simples: P(X = k) = P(X > k-1) - P(X > k). É o jeito elegante de “desmontar” a cauda. Aqui, foi dado que P(X > x) = 0,8^(x+1), para x = 0, 1, 2, .... Então basta calcular: P(X = 2) = P(X > 1) - P(X > 2). Substituindo, fica 0,8^2 - 0,8^3. Agora é conta de padaria estatística: 0,8^2 = 0,64 e 0,8^3 = 0,512. Logo, P(X = 2) = 0,64 - 0,512 = 0,128. Se você quiser enxergar o padrão, isso lembra uma distribuição geométrica em outra parametrização, com taxa 0,2. Mas, para esta questão, o caminho mais seguro é mesmo usar a diferença entre duas probabilidades da cauda. Assim, o gabarito é a alternativa D.