O valor esperado de uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f ( x ) = c √ x5, na qual x ∈ [ 0,1] e c . é uma constante real positiva, é igual a
- A)1 / 2.
Errada, porque 1/2 não corresponde ao valor esperado obtido pela integral da densidade dada.
- B)1 / 3.
Errada, pois 1/3 seria um valor compatível com outra distribuição, mas não com esta densidade.
- C)3 / 4.
Errada, já que 3/4 não resulta do cálculo de normalização e da esperança da função proposta.
- D)7 / 9.
Certa, porque após normalizar a densidade e calcular E(X), o resultado é 7/9.
- E)4 / 5.
Errada, pois 4/5 não é o valor esperado da variável com essa função densidade no intervalo [0,1].
Gabarito: D
Em variáveis aleatórias contínuas, o valor esperado funciona como uma "média ponderada" dos valores de x, usando a densidade f(x) como peso. A ideia é sempre a mesma: primeiro verificar se a função realmente é uma densidade, isto é, se a área total vale 1; depois, calcular E(X) por meio da integral de x vezes a densidade no intervalo dado. Aqui, a densidade é f(x) = c\,x^(5/2), para x em [0,1]. Então, você começa achando a constante c pela condição \u222b_0^1 c x^(5/2) dx = 1. Como \u222b_0^1 x^(5/2) dx = 2/7, vem c = 7/2. Sem isso, a densidade ficaria "desajustada", como uma balança sem calibração. Depois, calcula-se o valor esperado: E(X) = \u222b_0^1 x f(x) dx = \u222b_0^1 x \cdot c x^(5/2) dx = c \u222b_0^1 x^(7/2) dx. A integral vale 2/9, então E(X) = (7/2) \cdot (2/9) = 7/9. Por isso, o gabarito é a alternativa D. Não há fórmula mágica diferente aqui: é apenas a definição de esperança para variável contínua, que em estatística é exatamente esse cálculo de integral ponderada.