Suponha que X1 , X2, ... , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, em que cada Xk segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade ( k ∈ { 1,2, … , n }. Acerca da soma Sn = X1 + X2 + ... + Xn, quando n →v∞, há convergência em distribuição para a distribuição normal padrão se Sn for padronizada como
- A)Sn - n / √n .
Errada, porque divide por raiz de n e ignora que a variancia de cada Xk e 2, nao 1.
- B)Sn - n / 1 / √ n.
Errada, pois a expressao esta mal escrita e nao corresponde a uma padronizacao valida da soma.
- C)Sn - n / √2n .
Certa, pois (Sn - n)/sqrt(2n) subtrai a media n e divide pelo desvio-padrao sqrt(2n), levando a N(0,1).
- D)Sn - 1 / 1 / √n .
Errada, porque o denominador 1/sqrt(n) faria a variavel explodir em escala, nao padronizar.
- E)Sn - n / 2 .
Errada, porque subtrair n/2 nao centraliza a soma em torno da media correta, que e n.
Gabarito: C
Quando voce soma variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas, a ideia central e olhar para media e variancia da soma. Aqui, cada Xk segue qui-quadrado com 1 grau de liberdade, e essa distribuicao tem media 1 e variancia 2. Entao, para Sn = X1 + X2 + ... + Xn, temos E(Sn) = n e Var(Sn) = 2n. Para aplicar a convergencia para a normal padrao, voce precisa padronizar a soma subtraindo a media e dividindo pelo desvio-padrao. Como o desvio-padrao de Sn e raiz de 2n, a forma correta e (Sn - n) / sqrt(2n). Pelo Teorema Central do Limite, essa expressao converge em distribuicao para N(0,1) quando n cresce. A banca gosta de testar justamente esse detalhe: muita gente lembra do formato (soma - media)/raiz da variancia, mas escorrega no valor da variancia do qui-quadrado. Aqui nao e n, e sim 2n, porque a variancia de qui-quadrado com 1 grau de liberdade e 2. Portanto, o gabarito C esta correto porque usa a padronizacao certa da soma e leva ao limite normal padrao.