Duas variáveis aleatórias X e Y são tais que P ( X = x |Y = y ) = yx ( 1 - y ) 1 -x , em que x ∈ = { 0, 1 } , com Y seguindo distribuição uniforme contínua no intervalo ( 0,1 ). Nesse caso, conclui-se que X segue a distribuição
- A)uniforme contínua no intervalo ( 0,1).
Errada: uniforme contínua é a distribuição de Y, não de X, que só assume os valores 0 e 1.
- B)beta, com parâmetros 0,5 e 0,5.
Errada: beta é uma distribuição contínua em (0,1), usada como distribuição para o parâmetro, não para a variável X binária do enunciado.
- C)binomial, com parâmetros n = 2 e p = 0,25.
Errada: binomial com n = 2 exigiria contagem de 0 a 2 sucessos, mas X só pode valer 0 ou 1.
- D)de Poisson, com média igual a 0,5.
Errada: Poisson modela contagens em intervalos e assume suporte em 0,1,2,..., o que não bate com uma variável binária.
- E)de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p = 0,5.
Certa: como P(X = 1 | Y = y) = y e Y ~ Uniforme(0,1), então P(X = 1) = E[Y] = 0,5, logo X é Bernoulli(0,5).
Gabarito: E
Aqui a ideia é ver a distribuição marginal de X. Você tem P(X = x | Y = y) = y^x (1 - y)^(1 - x), com x em {0,1}. Isso é exatamente a forma de uma variável de Bernoulli condicionada a Y, com probabilidade de sucesso igual a y. Como Y é uniforme contínua em (0,1), para achar a distribuição de X basta tirar a média dessa probabilidade em relação a Y. Em outras palavras, P(X = 1) = E[P(X = 1 | Y)] = E[Y]. Como Y ~ Uniforme(0,1), então E[Y] = 1/2. Logo, P(X = 1) = 1/2 e P(X = 0) = 1/2. Isso significa que X segue distribuição de Bernoulli com p = 0,5. A resposta fica elegante e direta: a mistura da Bernoulli com parâmetro aleatório uniforme gera uma Bernoulli marginal com probabilidade média 1/2. Esse tipo de raciocínio é muito comum em probabilidade: primeiro você identifica a distribuição condicional, depois calcula a marginal por esperança total. Não há nada de Binomial, Poisson ou Beta aqui, porque X só pode assumir 0 ou 1, então o formato natural é Bernoulli.