Se uma amostra aleatória simples de tamanho n = 4, representada por X1, X2, X3, X4, for retirada de uma distribuição exponencial com média igual a 2, então o valor esperado de X(1) = min{ X1, X2, X3, X4} será igual a
- A)0,5.
Correta, porque o minimo de 4 exponenciais iid com media 2 tem media 1/(4 x 1/2) = 0,5.
- B)2,0.
Errada, porque 2,0 e a media de cada observacao, nao a media do minimo.
- C)4,0.
Errada, porque 4,0 seria um valor maior que a media original, enquanto o minimo tende a ser menor.
- D)6,5.
Errada, porque 6,5 nao corresponde a nenhuma relacao da distribuicao exponencial nesse caso.
- E)8,0.
Errada, porque 8,0 e bem distante do resultado obtido pela propriedade do minimo de exponenciais independentes.
Gabarito: A
Quando voce tem variaveis aleatorias independentes com distribuicao exponencial, o minimo delas continua sendo exponencial. Aqui, cada X_i tem media 2, entao a taxa e lambda = 1/2. Para o minimo de n observacoes independentes, a taxa vira n vezes lambda. Com n = 4, fica 4 x 1/2 = 2, logo a nova media e 1/2. Em outras palavras: quanto mais itens voce coloca na disputa para ver quem e o menor, menor fica o valor esperado do minimo. Faz sentido ate no dia a dia: quanto mais tentativas, maior a chance de aparecer um valor bem pequeno. Estatisticamente, o minimo “encolhe”. A formula usada e E[X_(1)] = 1/(n lambda) para a amostra de exponenciais iid. Como a media original e 1/lambda = 2, entao lambda = 1/2. Substituindo: E[X_(1)] = 1/(4 x 1/2) = 1/2 = 0,5. Por isso o gabarito A esta correto. Nao ha pegadinha de conta sofisticada aqui, so a propriedade classica da exponencial sob o minimo de variaveis independentes.