Se X e Y forem duas variáveis aleatórias independentes tais que X~Bernoulli (p = 0,8) e Y~Binomial (n = 3; p = 0,8), então P(X4 + Y = 1) é igual a
- A)0,0064.
Errada, porque 0,0064 corresponde apenas ao caso X=1 e Y=0, mas falta somar o caso X=0 e Y=1.
- B)0,0256.
Certa, pois o evento X^4 + Y = 1 ocorre em dois casos independentes: X=1, Y=0 ou X=0, Y=1, totalizando 0,0256.
- C)0,0512.
Errada, porque esse valor dobra indevidamente uma parte da conta e não representa a soma dos dois cenários possíveis.
- D)0,1024.
Errada, pois este número aparece se a pessoa confundir o valor de P(X=1) com a resposta final, sem considerar Y.
- E)0,4096.
Errada, porque 0,4096 é um valor típico de potência de 0,8, mas não corresponde à probabilidade do evento pedido.
Gabarito: B
Quando a questão mistura Bernoulli com Binomial, o primeiro passo é olhar para a forma da variável, porque isso simplifica muito a conta. Se X ~ Bernoulli(p = 0,8), então X só pode valer 0 ou 1. E, para variáveis 0 ou 1, elevar à quarta potência não muda nada: X^4 = X. Então o evento pedido vira X + Y = 1. Para isso acontecer, só há dois cenários: X = 1 e Y = 0, ou X = 0 e Y = 1. Como X e Y são independentes, a probabilidade de cada cenário é o produto das probabilidades correspondentes. Agora vamos aos números. Para X ~ Bernoulli(0,8), temos P(X=1)=0,8 e P(X=0)=0,2. Para Y ~ Binomial(n=3, p=0,8), precisamos de P(Y=0) = 0,2^3 = 0,008 e P(Y=1) = C(3,1)·0,8·0,2^2 = 3·0,8·0,04 = 0,096. Logo, P(X^4 + Y = 1) = P(X=1, Y=0) + P(X=0, Y=1) = 0,8·0,008 + 0,2·0,096 = 0,0064 + 0,0192 = 0,0256. Portanto, o gabarito correto é B.