Considerando que Q20 e Q15 representam variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições qui-quadrado, respectivamente, com 20 e 15 graus de liberdade, assinale a opção correta no que se refere à diferença D = Q20 - Q15.
- A)D segue uma distribuição qui-quadrado.
Errada: a diferenca de duas variaveis qui-quadrado independentes nao segue, em geral, uma distribuicao qui-quadrado.
- B)Se P(D<0) representa a probabilidade de ocorrência do evento [D<0], então P(D<0) = 0.
Errada: como as duas variaveis sao aleatorias, e possivel que Q15 supere Q20, entao D pode ser negativo.
- C)O valor esperado da variável D é igual a zero.
Errada: E(D) = E(Q20) - E(Q15) = 20 - 15 = 5, nao zero.
- D)A distribuição da variável D é simétrica em torno da sua média.
Errada: a distribuicao da diferenca nao e necessariamente simetrica em torno da media.
- E)A variância da diferença D é igual a 70.
Certa: Var(D) = Var(Q20) + Var(Q15) = 2(20) + 2(15) = 70, pois as variaveis sao independentes.
Gabarito: E
Quando voce trabalha com variaveis aleatorias independentes, uma boa regra de ouro e separar duas ideias: media soma/subtrai e variancia soma. No caso da qui-quadrado, se Q segue qui-quadrado com k graus de liberdade, entao E(Q) = k e Var(Q) = 2k. Aqui, Q20 e Q15 sao independentes, entao para D = Q20 - Q15 temos E(D) = 20 - 15 = 5 e Var(D) = Var(Q20) + Var(Q15), porque o sinal de menos nao altera a variancia. Aplicando a formula da variancia, fica Var(D) = 2(20) + 2(15) = 40 + 30 = 70. Esse e exatamente o valor pedido pela banca. O detalhe que costuma derrubar candidatos e esquecer que variancia de diferenca de variaveis independentes nao vira subtracao, e sim soma das variancias. A distribuicao de D nao e qui-quadrado, nem simetrica em torno da media, porque a diferenca de duas qui-quadrado independentes nao preserva esse formato simples. E tambem a probabilidade de D < 0 nao e zero, pois Q15 pode perfeitamente ser maior que Q20 em uma realizacao qualquer. Resumo de prova: para qui-quadrado, media = graus de liberdade e variancia = 2 vezes os graus de liberdade. Com independencia, ao formar Q20 - Q15, a media vira 5 e a variancia vira 70.