Considere duas variáveis aleatórias X1 e X2, tais que E(X1) = E(X2) = 1 e Var(X1) = Var(X2) = 4 Se X1 e X2 forem variáveis aleatórias independentes, então a variância do produto X1X2 será igual a
- A)4.
Errada, porque 4 é apenas a variancia de cada variavel isoladamente, nao do produto.
- B)8.
Errada, porque 8 nao resulta da formula de variancia do produto com independencia.
- C)16.
Errada, porque 16 seria um chute comum ao multiplicar valores sem aplicar os momentos corretos.
- D)18.
Errada, porque 18 nao aparece ao usar E(X1X2) e E((X1X2)^2) corretamente.
- E)24.
Certa, pois Var(X1X2) = E(X1^2)E(X2^2) - [E(X1)E(X2)]^2 = 5·5 - 1 = 24.
Gabarito: E
Aqui a ideia central é lembrar que variância nao se calcula pelo "produto das variancias". Para uma variavel Y, a conta certa é Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2. Quando aparece um produto X1X2, voce precisa olhar para a esperança desse produto e para a esperança do quadrado dele. Como X1 e X2 sao independentes, vale E(X1X2) = E(X1)E(X2) = 1. E tambem E(X1^2X2^2) = E(X1^2)E(X2^2). Agora vem o truque classico: E(Xi^2) = Var(Xi) + [E(Xi)]^2 = 4 + 1^2 = 5. Entao, E[(X1X2)^2] = 5·5 = 25. Aplicando a formula da variancia: Var(X1X2) = 25 - 1^2 = 24. Ou seja, o gabarito E esta correto porque a independencia permite separar os momentos do produto, e a conta fecha em 24. Em prova, esse tipo de questao gosta de testar se voce lembra que "variancia de produto" nao segue receita magica de variancias isoladas.