Se for uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade é f(x) = 50exp (-100 |x|), em que x ∈ ℝ, então o valor esperado de X será igual a
- A)0.
Correta, porque a densidade é simétrica em torno de 0 e, por isso, o valor esperado é zero.
- B)0,01.
Errada, pois 0,01 parece um parâmetro da distribuição, não o valor esperado.
- C)0,02.
Errada, porque o parâmetro 100 não representa a média da variável aleatória.
- D)100.
Errada, já que 100 é apenas o coeficiente da densidade e não o valor esperado.
- E)200.
Errada, porque 200 não tem relação com a esperança dessa distribuição simétrica.
Gabarito: A
Quando a densidade é simétrica em torno de zero, a variável aleatória fica com “equilíbrio perfeito” entre valores positivos e negativos. Aqui, f(x) = 50e^{-100|x|} é uma densidade do tipo Laplace, centrada em 0, então a distribuição tem o mesmo peso para x e para -x. Isso já acende a luz: a média tende a ser zero. Para ver isso de forma mais formal, o valor esperado é E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx. Como f(x) depende de |x|, ela é função par, enquanto x é função ímpar. O produto x f(x) fica ímpar, e a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico (de -\infty a \infty) é 0. Então o gabarito A está correto: o valor esperado de X é 0. Sem mistério, sem pegadinha filosófica, só simetria bem comportada. Em provas, sempre que a densidade é centrada e simétrica em relação a zero, a esperança costuma cair direto em 0.