Considerando que a distribuição conjunta entre duas variáveis aleatórias contínuas X e Y é dada pela expressão f(x,y) = 8xy/3 + x2 , se (x,y) ∊ [0,1] x [0,1], e f(x,y) = 0, se (x,y) ∉ [0,1] x [0,1], a probabilidade P(X + Y > 1) é igual a
- A)2/9.
Errada, porque 2/9 não corresponde à integral da densidade sobre a região X + Y > 1.
- B)7/36.
Errada, pois 7/36 é incompatível com a área ponderada pela densidade nessa faixa do plano.
- C)29/36.
Certa, pois a integral da densidade no triângulo X + Y > 1 resulta em 29/36.
- D)1/2.
Errada, porque 1/2 seria um palpite geométrico simples, mas aqui a densidade não é uniforme.
- E)7/9.
Errada, pois 7/9 não bate com a probabilidade obtida ao integrar a densidade na região pedida.
Gabarito: C
Em probabilidade contínua, a chance de um evento vem da integral da densidade sobre a região desejada. Aqui, a densidade conjunta foi dada em [0,1] x [0,1], então primeiro você confere se ela faz sentido como densidade: ao integrar no quadrado inteiro, o total dá 1. Tudo certo, vida que segue. O evento pedido é X + Y > 1. Geometricamente, isso é a parte do quadrado unitário que fica acima da reta y = 1 - x. Em vez de sofrer com o quadrado todo, você integra só nesse triângulo: para cada x entre 0 e 1, y vai de 1 - x até 1. Então fazemos P(X+Y>1) = integral de 0 a 1, da integral de 1-x a 1 de (8xy/3 + x^2) dy dx. Calculando com calma, o resultado sai 29/36. É aquele tipo de questão em que o desenho da região vale ouro, porque a conta fica bem mais organizada. Logo, o gabarito correto é a alternativa C. A banca gosta exatamente disso: reconhecer a região no plano, montar os limites certos e integrar sem tropeçar na geometria do problema.