Seja X1, X2, X3, X4, X5 uma amostra aleatória simples retirada de uma população uniforme discreta com desvio padrão igual a 5. Com respeito à variância amostral S2, assinale a opção correta.
- A)E[√S2] = 5
Errada, porque E[√S2] não é, em geral, igual ao desvio padrão populacional; o valor esperado da raiz da variância amostral não tem essa identidade simples.
- B)4S2/5 segue distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade.
Errada, porque a relação com qui-quadrado vale, em geral, para amostras de população normal, e ainda assim a estatística envolvida é (n-1)S2/σ2, não 4S2/5.
- C)O valor esperado de S2 é igual a 25.
Certa, pois a variância amostral S2 é um estimador não viesado de σ2 e, como σ = 5, então E[S2] = 25.
- D)A razão √S2 / x̄ , na qual x̄ representa a média amostral, segue uma distribuição normal.
Errada, porque a razão √S2 / x̄ não segue distribuição normal em geral; essa combinação não tem esse resultado padrão de teoria amostral.
- E)A variância amostral S2 é uma variável aleatória correlacionada com a média amostral x̄.
Errada, porque a correlação entre S2 e x̄ não é uma afirmação geral para qualquer população; essa dependência não pode ser tomada como regra.
Gabarito: C
A variância amostral S2 mede a dispersão dos valores em torno da média amostral. Quando a amostra é aleatória simples e a população tem variância finita, um resultado clássico diz que o valor esperado da variância amostral sem viés é igual à variância populacional: E[S2] = σ2. Como o enunciado informa desvio padrão igual a 5, então a variância da população é 5² = 25. É por isso que a alternativa C está correta. Mesmo sem saber a forma exata da população uniforme discreta, isso não atrapalha: para o esperado de S2, importa a variância populacional, não o formato da distribuição. Aqui entra a ideia de estimador não viesado, muito cobrada em prova: S2, com o denominador n-1, estima σ2 sem tendência sistemática para mais ou para menos. As demais alternativas misturam fatos de distribuições conhecidas com situações que não valem para qualquer população. Em especial, a distribuição qui-quadrado para a variância amostral aparece em amostras normais, e a independência entre média e variância também é uma propriedade ligada ao caso normal, não a uma população uniforme discreta. Moral da história: viu S2 e pediram esperança? Pense direto em σ2.