Considere que X1, ..., X100 represente uma amostra aleatória simples de tamanho 100, com reposição, retirada de uma população normal com média desconhecida M e desvio padrão igual a 9. Se X = X1, ..., X100 / 100 denota a média amostral, então a quantidade X - M segue uma distribuição normal com média nula e desvio padrão igual a
- A)81.
Errada, porque 81 seria um valor muito acima do desvio padrao da media amostral e nao corresponde a sigma/sqrt(n).
- B)0,09.
Errada, porque 0,09 e o quadrado de 0,3, mas aqui o desvio padrao correto da media amostral nao e esse valor.
- C)0,81.
Errada, porque 0,81 nao resulta de 9 dividido por raiz de 100 e costuma aparecer por erro de conta.
- D)0,9.
Certa, pois o desvio padrao da media amostral e 9/sqrt(100)=0,9 e, ao subtrair M, a media fica zero.
- E)9.
Errada, porque 9 e o desvio padrao da populacao, nao o da media amostral.
Gabarito: D
Quando voce trabalha com a media amostral, a ideia central e bem simples: ela herda a media da populacao, mas fica mais concentrada em torno desse valor. Se a populacao e normal, a media amostral tambem tem distribuicao normal. O ponto mais cobrado em prova e o desvio padrao da media amostral, que nao e o da populacao, e sim o chamado erro-padrao: sigma dividido por raiz de n. Aqui, a populacao tem desvio padrao 9 e o tamanho da amostra e 100. Entao o desvio padrao de Xbarra e 9/raiz(100) = 9/10 = 0,9. Como a questao pede a distribuicao de Xbarra - M, basta notar que subtrair a media verdadeira apenas centraliza a variavel em zero, sem mudar a dispersao. Logo, ela segue uma normal de media nula e desvio padrao 0,9. Em linguagem de prova: Xbarra ~ N(M, 0,9^2), portanto Xbarra - M ~ N(0, 0,9^2). O gabarito D esta correto exatamente por isso. Esse resultado decorre das propriedades da media amostral na amostragem aleatoria simples e, no caso normal, da distribuicao exata da media amostral.