Uma série temporal é gerada por um modelo na forma Xt = 0,23Xt-1 + at - 0,23at-1, em que t ∈ ℤ é um índice que representa o tempo; at é um ruído branco no tempo t, tendo média nula e variância constante; e Xt denota que a variá vel aleatória X é observada no instante de tempo t. Com base nessas informações, infere-se que a correlação linear entre Xt e Xt-1 é igual a
- A)- 0,46.
Errada, porque a correlação não é negativa nesse modelo; os termos se anulam na defasagem 1.
- B)+ 0,46.
Errada, porque o valor positivo 0,46 não decorre da estrutura ARMA dada, que leva a cancelamento.
- C)- 0,23.
Errada, porque -0,23 seria uma leitura simplista do coeficiente do termo de ruído, sem usar a fórmula da autocorrelação.
- D)0,00.
Certa, porque o coeficiente do termo autorregressivo e o do termo de média móvel se compensam, gerando correlação linear zero entre Xt e Xt-1.
- E)+ 0,23.
Errada, porque 0,23 confunde o coeficiente do modelo com a correlação de primeira defasagem.
Gabarito: D
A ideia aqui é olhar para o modelo como um ARMA(1,1): ele tem um termo autorregressivo, 0,23Xt-1, e um termo de média móvel, at - 0,23at-1. Em séries assim, a correlação entre Xt e Xt-1 não depende só do coeficiente do “X passado”, porque o ruído também entra na conta. Parece simples, mas a série adora uma pegadinha elegante. Para um ARMA(1,1), a autocorrelação de defasagem 1 pode ser escrita por uma fórmula que envolve os dois coeficientes. Aqui, o coeficiente do ruído passado é -0,23, exatamente o oposto do coeficiente autorregressivo. Quando isso acontece, os efeitos se compensam na defasagem 1, levando a correlação linear entre Xt e Xt-1 a zero. Então, apesar de existir dependência dinâmica no modelo, a associação linear imediata entre os dois instantes fica nula. Em outras palavras: há memória no processo, mas ela não aparece na correlação de primeira defasagem. É aquele caso em que o modelo “fala”, mas a correlação diz “não vi nada”. Por isso, o gabarito é a alternativa D, igual a 0,00.