Uma esfera tem raio R, massa específica ρ, calor específico c p e condutividade térmica k. A temperatura média inicial da esfera é T0 . No instante t = 0, a esfera é imersa em um fluido refrigerante, com temperatura constante Ta . O coeficiente de transferência de calor convectiva entre a esfera e o fluido é h. Para número de Biot (h R/k) pequeno, a evolução temporal da temperatura média da esfera é dada por T(t)=Ta +(T0 -Ta )e-t/τ , onde a constante de tempo τ é dada por
- A)3hR/pcp
Errada, porque o fator 3 não multiplica hR; a expressão correta para uma esfera traz o 3 no denominador da constante de tempo.
- B)2hR/pcp
Errada, pois a constante de tempo não é 2hR/ρc_p; a dependência dimensional correta exige ρc_pR/h com o fator geométrico da esfera.
- C)pcpR/h
Errada, porque falta o fator geométrico 1/3 da esfera, que vem da razão V/A no modelo de capacidade concentrada.
- D)pcpR/2h
Errada, já que o fator correto não é 1/2; para a esfera, a relação volume-area fornece 1/3.
- E)pcpR/3h
Certa, pois pela aproximação de Biot pequeno a constante de tempo é τ = (ρc_pV)/(hA) = ρc_pR/(3h).
Gabarito: E
Quando o número de Biot é pequeno, a resistência interna à condução térmica na esfera é desprezível em relação à troca com o fluido. Isso permite usar o modelo de capacidade concentrada: a temperatura da esfera pode ser tratada como praticamente uniforme em cada instante, e ela varia de forma exponencial no tempo. Nesse modelo, a constante de tempo vem da razão entre a capacidade térmica do corpo e a sua área de troca com o meio: τ = (ρ c_p V)/(h A). Para uma esfera, V = 4πR^3/3 e A = 4πR^2, então τ = (ρ c_p (4πR^3/3))/(h 4πR^2) = ρ c_p R/(3h). É exatamente por isso que o gabarito é a alternativa E. O enunciado já entrega a pista decisiva com "número de Biot pequeno", que é a condição clássica para aplicar a solução exponencial do resfriamento com temperatura interna uniforme. Em resumo: se a esfera esfria "por fora" e quase não cria gradiente interno relevante, o tempo característico depende do volume dividido pela área. Para a esfera, essa conta sempre deixa o fator 3 no denominador, e não no numerador.