A função de onda de um elétron no primeiro nível de energia de um poço quântico infinito está dada por ψ(x) = A cos(0,5π × 109 x), sendo A uma constante de normalização, e x sendo medido em metros. Qual é o valor aproximado da energia desse estado, em eV? Dado ħc = 0,2 eV.μm (ħ é a constante de Planck reduzida, e c é a velocidade da luz no vácuo); massa do elétron me = 0,5 × 106 eV/c2
- A)1 × 10-2
Errada, porque 10^-2 eV fica abaixo do valor obtido ao aplicar E = ħ²k²/(2m) com o k dado no enunciado.
- B)1 × 10-1
Certa, pois a aplicação direta da relação energia-momento para a onda estacionária leva a aproximadamente 0,1 eV.
- C)1
Errada, porque 1 eV já é uma ordem de grandeza acima do resultado estimado para esse estado.
- D)1 × 101
Errada, porque 10 eV é muito maior do que a energia calculada a partir do número de onda informado.
- E)1 × 102
Errada, porque 100 eV está muito acima da energia esperada para um elétron nesse poço.
Gabarito: B
Em um poço quântico infinito, a energia de uma onda estacionaria depende do número de onda k. A fórmula mais usada é E = ħ²k²/(2m), que vem direto da solução da equação de Schrödinger. Aqui, a função de onda já entrega o k: ψ(x) = A cos(0,5π × 10^9 x), então k = 0,5π × 10^9 m^-1. Agora vem a parte prática: para evitar ficar carregando constantes difíceis, dá para usar o dado ħc. Como ħ²/(2m) = (ħc)²/(2mc²), a conta fica bem mais amigável. Substituindo ħc = 0,2 eV·μm e mc² = 0,5 × 10^6 eV, resulta em uma energia da ordem de 10^-1 eV. Fazendo a estimativa: E ≈ (0,2)^2 × (0,5π × 10^9 m^-1)^2, com a conversão de μm para m embutida no cálculo, o valor final fica aproximadamente 0,1 eV. Em prova, o CESGRANRIO adora essa ideia: identificar o k na função de onda, aplicar a fórmula de energia e fazer uma conta de ordem de grandeza sem sofrer demais. Por isso, o gabarito é a alternativa B. A energia do estado é cerca de 1 × 10^-1 eV, que corresponde ao primeiro valor plausível entre as opções.