Se (x,y) é um status de duas vidas conjuntas e independentes, a seguinte igualdade pode ser derivada:
- A)dxy = dx X dy
Errada: d_xy nao e o produto de d_x por d_y; em probabilidade atuarial, as quantidades de decremento nao se combinam assim.
- B)μxy = μx X μy
Errada: as intensidades de mortalidade nao se multiplicam desse jeito; para vidas independentes, a estrutura correta envolve complementariedade e/ou soma, nao produto simples.
- C)pxy = px + py - px X py
Errada: essa forma corresponde a uma conta de complemento mal montada e nao representa corretamente a probabilidade conjunta de sobrevivencia.
- D)qxy = qx + qy - qx X qy
Certa: para duas vidas independentes, q_xy = 1 - p_x p_y = q_x + q_y - q_x q_y.
- E)qxy = qx X qy
Errada: q_x q_y e a probabilidade de ambos morrerem no periodo, nao a probabilidade de ao menos uma morte no status conjunto.
Gabarito: D
Quando voce trabalha com duas vidas independentes, a ideia central e bem simples: a probabilidade de ambos sobreviverem ao periodo e o produto das probabilidades individuais. Em notacao atuarial, isso aparece como p_xy = p_x p_y, porque a independencia permite multiplicar as probabilidades de sobrevivencia. A questao, porem, pede a igualdade para o status de duas vidas conjuntas em termos de morte conjunta no periodo. Nesse caso, a chance de ao menos uma das vidas morrer e o complemento da sobrevivencia conjunta: q_xy = 1 - p_xy. Como p_xy = (1 - q_x)(1 - q_y), entao q_xy = 1 - (1 - q_x)(1 - q_y) = q_x + q_y - q_x q_y. Ou seja, a alternativa D esta correta porque traduz exatamente a regra do complemento para eventos independentes. Isso e um classico de probabilidades atuariais e aparece em textos de sobrevivencia conjunta e ultima sobrevivencia, como em estudos padronizados de atuaria. Cuidado para nao cair na armadilha de somar probabilidades sem ajustar a interseccao. Em independencia, o termo do produto entra justamente para evitar a dupla contagem do caso em que as duas vidas falham no mesmo periodo.