O status de último sobrevivente se mantém enquanto ao menos um dos indivíduos do grupo estiver vivo. Esse conceito pode ser aplicado, por exemplo, a um plano capitalizado que prevê o pagamento vitalício de cotas reversíveis entre os beneficiários. Dado um grupo de três segurados , a anuidade atuarial a correspondente ao pagamento até a permanência do último indivíduo vivo é igual a:
- A)ax+ ay + az
Errada, porque soma apenas as vidas isoladas e ignora as correções de sobreposição entre os segurados.
- B)ax + ay + az - (axy + axz + ayz)
Errada, porque já faz a subtração das vidas em conjunto, mas ainda falta recolocar a interseção dos três vivos para ajustar a contagem.
- C)ax + ay + az - (axy + axz + ayz ) + axyz
Certa, pois aplica corretamente a inclusão-exclusão para a anuidade do último sobrevivente entre três vidas.
- D)axyz + axy + axz + ayz - (ax + ay + az )
Errada, porque inverte a lógica: coloca os termos conjuntos antes e termina subtraindo as vidas isoladas, o que não representa o último sobrevivente.
- E)axyz + axy + axy + ayz - (ax = ay + az)
Errada, porque a expressão está desconexa e mistura termos de forma incorreta, sem formar a fórmula atuarial válida.
Gabarito: C
Em tábuas de mortalidade e seguros de vidas múltiplas, a lógica é quase um jogo de presença: o status de último sobrevivente dura enquanto pelo menos um dos segurados estiver vivo. Se a renda é paga até a morte do último dos três, estamos falando de uma anuidade sobre a junção total das vidas, isto é, uma função do tipo último sobrevivente . A fórmula clássica para a anuidade do último sobrevivente segue o princípio da inclusão-exclusão. Primeiro, soma-se a anuidade de cada vida isolada. Depois, descontam-se as anuidades conjuntas de dois em dois, porque elas foram contadas em excesso. Por fim, soma-se de volta a anuidade conjunta dos três, para corrigir a dupla subtração. É o mesmo raciocínio de contagem que aparece em probabilidade e em combinatória, só que com cara de atuarial. Assim, para três segurados, a expressão fica: a_x + a_y + a_z - (a_xy + a_xz + a_yz) + a_xyz. Essa é exatamente a alternativa C. Intuitivamente, você está montando o valor do pagamento enquanto houver pelo menos uma vida em pé, e isso pede a correção completa do excesso de contagem. A ideia é bem conhecida na literatura atuarial e decorre do tratamento de múltiplas vidas em contratos reversíveis ou vitalícios. Não há pegadinha jurídica aqui: o ponto central é a estrutura de sobrevivência conjunta e a aplicação direta da inclusão-exclusão.