Se X é a variável aleatória que representa a idade no momento da morte, a distribuição de probabilidade de X pode ser definida por meio de sua função de distribuição acumulada F(x)=P(X≤x), x≥0, que, por sua vez, pode ser quantificada em uma tábua biométrica. Sendo s(x) a probabilidade de uma pessoa na idade zero chegar viva à idade x, esta probabilidade é uma função de X, chamada função de sobrevivência, e pode ser definida como s(x)=1- F(x)=P(X>x), x≥0. Uma relação válida para a função de sobrevivência aplicada às funções biométricas da ciência atuarial, considerando as idades “a” e “b”, com a < b é
- A)a força de mortalidade μ constante, que não depende do tempo t, possui função s(t) exponencial de base neperiana e expoente" μt“, mas não é consistente com a característica de “ausência de memória” da distribuição exponencial de probabilidade.
Errada, porque a força de mortalidade constante leva a uma sobrevivência exponencial com expoente negativo, e a frase ainda afirma incorretamente que isso não é consistente com a ausência de memória.
- B)a força de mortalidade μt no instante t igual a – s´(t) / s(t), em que s´(t) é a primeira derivada de s(t).
Certa, pois a força de mortalidade é dada por μ(t) = -s'(t)/s(t), relação fundamental entre risco instantâneo e função de sobrevivência.
- C)a probabilidade de que um recém-nascido faleça entre as idades “a” e “b”, dada por s(a)-s(b), ou seja, dada por a P 0 * b P a .
Errada, porque s(a)-s(b) representa a probabilidade de sobreviver até a, mas não a de falecer entre a e b; além disso, a notação de probabilidade apresentada não corresponde a essa interpretação.
- D)a probabilidade condicional de que um recém-nascido faleça entre as idades “a” e “b”, condicional no fato de que tenha sobrevivido até a idade “a”dada por [s(b)-s(a)]/s(a), ou seja, é dada por b−a q a .
Errada, porque a probabilidade condicional de morrer entre a e b, dado que viveu até a, envolve a razão entre sobrevivência e não é expressa por [s(b)-s(a)]/s(a), além de a notação indicada estar incoerente.
- E)a probabilidade condicional de um indivíduo de idade x sobreviver até x+n, condicional no fato de que vive até x, é dada por [s(x)-s(x+n)]/s(x), ou seja, por n P x .
Errada, porque a probabilidade de sobreviver de x até x+n, dado que está vivo em x, é uma razão do tipo s(x+n)/s(x), e não [s(x)-s(x+n)]/s(x), que corresponde à probabilidade de morte no intervalo.
Gabarito: B
Em tábuas de mortalidade, a função de sobrevivência s(x) resume a chance de uma pessoa estar viva na idade x. Ela é a base para montar várias relações atuariais, como morte entre idades, vida temporária e força de mortalidade. Em outras palavras, é a função que transforma a biologia da vida em conta de seguro - sem ela, a tábua vira um amontoado de números sem conversa. A força de mortalidade, representada por μ(t), mede o risco instantâneo de morte naquele instante, dado que a pessoa chegou viva até ali. A relação clássica da teoria atuarial é μ(t) = -s'(t)/s(t), isto é, a taxa instantânea de queda da sobrevivência dividida pelo próprio nível de sobrevivência, com sinal negativo porque s(t) normalmente diminui com o tempo. Essa é uma identidade básica de sobrevivência em matemática atuarial e também aparece na teoria de sobrevivência em estatística. Por isso o gabarito é a letra B: ela traz exatamente a definição correta da força de mortalidade em termos da derivada da função de sobrevivência. Se s(t) cai mais rápido, a força de mortalidade cresce; se s(t) cai devagar, o risco instantâneo é menor. Simples, elegante e muito cobrado. As demais alternativas escorregam em sinais, condicionamento e interpretação de probabilidades entre idades. A FGV gosta bastante desse tipo de armadilha: trocar probabilidade condicional por diferença simples, inverter sinais ou escrever a fórmula certa com um raciocínio torto.