Segundo a notação utilizada pelo atuário em nota técnica atuarial, p(x,n) representa a probabilidade de um indivíduo com idade x sobreviver até a idade x+n para uma tábua biométrica. Considerando o exposto, é correto afirmar que:
- A)p(x,n) diminui com o aumento de cada idade x, dado n constante positiva;
Errada, porque para n fixo a probabilidade de sobreviver tende a diminuir quando a idade x aumenta.
- B)p(x,n) cresce com o aumento de cada idade x, dado n constante positiva;
Errada, porque o envelhecimento eleva o risco de morte, então p(x,n) não cresce com a idade.
- C)p(x+1,n) é menor que p(x,n+1) para todas as idades x, dado n=1;
Errada, porque a comparação não é universal dessa forma; além disso, com n=1 a expressão não estabelece essa desigualdade como regra geral.
- D)p(x,n) tende a 1, à medida que n se aproxima de 120;
Errada, porque quanto mais perto da idade terminal da tábua, menor é a chance de sobrevivência, não maior.
- E)p(x,n) tende a 0, à medida que n se aproxima de 120.
Certa, porque a probabilidade de sobreviver até idades muito avançadas cai e tende a zero perto do limite máximo da tábua.
Gabarito: E
Na tábua biométrica, p(x,n) é a probabilidade de uma pessoa com idade x chegar viva à idade x+n. Em linguagem de prova: é uma chance de sobrevivência por n anos a partir da idade x. Quanto maior a idade de entrada x, menor tende a ser essa probabilidade, porque o risco de morte aumenta com o envelhecimento. E, quanto maior o horizonte n, menor também costuma ser a chance de sobreviver por todo esse período. Agora, o ponto central da questão: em tábuas de mortalidade, existe uma idade-limite máxima da tábua, frequentemente chamada de idade extrema ou idade terminal, em torno de 120 anos em muitas aplicações atuariais. À medida que n se aproxima dessa idade terminal, a probabilidade de sobreviver até lá fica cada vez menor, porque restam menos e menos indivíduos vivos nas idades avançadas. Por isso, a ideia de que p(x,n) tende a 1 quando n se aproxima de 120 está invertida: chegar perto da idade terminal não aumenta a sobrevivência, mas faz a probabilidade se aproximar de zero. É o tipo de detalhe que a FGV adora cobrar com cara de matemática simples, mas com a intuição ao contrário. Então o gabarito E está correto porque, para uma tábua biométrica, a probabilidade de um indivíduo vivo na idade x sobreviver até idades muito avançadas tende a se reduzir drasticamente, aproximando-se de 0 quando n se aproxima do limite máximo da tábua.