Assuma uma economia de dois bens, x e y, com preços p1 e p2, respectivamente. Considere ainda um consumidor com renda M e função utilidade Cobb-Douglas u(x, y) = xa yb , com a e b números reais positivos diferentes de zero e a + b = 1. Ao resolver o problema do consumidor, a soma das quantidades de bens x e y que maximizam a utilidade do consumidor quando b = 60%, p1 = 0,5p2 e M = 100p1 equivale a:
- A)50;
Errada, porque a soma das demandas ótimas não chega a 50 quando você aplica a regra Cobb-Douglas corretamente.
- B)60;
Errada, pois os pesos da utilidade e a relação entre os preços levam a um total maior do que 60.
- C)70;
Certa, porque x* = 40 e y* = 30, então a soma é 70.
- D)80;
Errada, já que o cálculo correto não gera 80 para a soma das quantidades demandadas.
- E)90.
Errada, porque a soma ótima das quantidades fica abaixo de 90.
Gabarito: C
Em utilidade Cobb-Douglas, a lógica do consumidor fica bem elegante: cada bem recebe uma fatia fixa da renda, proporcional ao expoente da função de utilidade. Aqui, como u(x,y) = x^a y^b e a + b = 1, vale a regra clássica de demanda: x* = aM/p1 e y* = bM/p2. Ou seja, nada de drama: é só dividir a renda pelos preços com os pesos da utilidade. Nesta questão, b = 60%, então b = 0,6 e, como a + b = 1, temos a = 0,4. Também foi dado que p1 = 0,5p2, logo p2 = 2p1. E a renda é M = 100p1. Esses dados parecem espalhados para ver se você se perde no caminho, mas a conta é direta. Aplicando a demanda ótima, temos x* = 0,4 vezes 100p1 dividido por p1, o que dá 40. Para y*, fica y* = 0,6 vezes 100p1 dividido por 2p1, o que dá 30. Portanto, a soma das quantidades é 40 + 30 = 70. Por isso, o gabarito é a alternativa C. A regra da Cobb-Douglas é um daqueles atalhos que a banca adora cobrar: se você reconhece a estrutura, resolve em segundos e evita cair em contas desnecessárias.